Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 850
2014-03-02 
Докажите, что число вида #n^{4} + 4 (n \in \mathbf{N}, n > 1)# всегда составное.
Решение:
Первый способ. Если #n = 2k,# то утверждение очевидно. Пусть #n = 2k + 1, k \in \mathbf{N},# тогда #n^{4} + 4 = (2k+1)^{4} + 4 = 16 k^{4} + 32k^{3} + 24k^{2} + 8k + 1 + 4 = 4 \cdot (4k^{4} + 8k^{3} + 6k^{2} + 2k +1) + 1 = 4 \cdot (4k^{2}(k^{2} + 2k +1) + (k^{2} + 2k +1) + k^{2}) +1 = 4 \cdot (k+1)^{2} \cdot (4k^{2} + 1) + 4k^{2} + 1 = (4k^{2} + 1) \cdot (4 \cdot (k+1)^{2} + 1).# Утверждение доказано. Второй способ. #n^{4} + 4 = n^{4} + 4n^{2} + 4 - 4n^{2} = (n^{2} + 2)^{2} - (2n)^{2} = (n^{2} + 2n + 2) \cdot (n^{2} - 2n + 2).# Оба множителя, очевидно, больше единицы. Утверждение доказано.
Докажите, что число вида #n^{4} + 4 (n \in \mathbf{N}, n > 1)# всегда составное.
Решение:
Первый способ. Если #n = 2k,# то утверждение очевидно. Пусть #n = 2k + 1, k \in \mathbf{N},# тогда #n^{4} + 4 = (2k+1)^{4} + 4 = 16 k^{4} + 32k^{3} + 24k^{2} + 8k + 1 + 4 = 4 \cdot (4k^{4} + 8k^{3} + 6k^{2} + 2k +1) + 1 = 4 \cdot (4k^{2}(k^{2} + 2k +1) + (k^{2} + 2k +1) + k^{2}) +1 = 4 \cdot (k+1)^{2} \cdot (4k^{2} + 1) + 4k^{2} + 1 = (4k^{2} + 1) \cdot (4 \cdot (k+1)^{2} + 1).# Утверждение доказано. Второй способ. #n^{4} + 4 = n^{4} + 4n^{2} + 4 - 4n^{2} = (n^{2} + 2)^{2} - (2n)^{2} = (n^{2} + 2n + 2) \cdot (n^{2} - 2n + 2).# Оба множителя, очевидно, больше единицы. Утверждение доказано.
