ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Доказать, что при любом разбиении множества

$X = {1;2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}$

на два подмножества хотя бы одно из полученных подмножеств содержит 3 таких числа, что сумма двух из них равна удвоенному третьему.




Решение:




Пусть $X=A \bigcup B$ и для определенности $5 \in A$. Предположим что ни в каком из множеств $A$ и $B$ нет тройки чисел, сумма двух из которых равна удвоенному третьему. Если $3 \in A$, то $1 \in B, 4 \in B$ и $7 \in B$, что противоречит предположению, так как $1+7=2 \cdot 4$. Аналогично доказывается, что $7 \notin A$. Поэтому $3 \in B$ и $7 \in B$. Заметим, что хотя бы одно из чисел 4, 6 принадлежит множеству $B$ (иначе числа 4,5,6 образовали бы недопустимую тройку). Пусть $4 \in B$ (случай $6 \in B$ аналогичен), тогда

$2 \in A$ (иначе ${2; 3; 4} \subset B$),

$8 \in A$ (иначе ${2; 5; 8} \subset A$),

$6 \in A$ (иначе ${4; 6; 8} \subset B$),

$9 \in A$ (иначе ${7; 8; 9} \subset B$),

Если $1 \in A$, то

${1;5;9} \subset A$.

Если $1 \in B$, то

${1;4;7} \subset B$.

Получили противоречие с предположением.