Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 849
2014-03-02 
Докажите, что число #C_{2n}^{n}# делится на любое простое число #p# такое, что #n < p \leq 2n.# .
Решение:
По формуле #C_{2n}^{n} = \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \frac{(2n)!}{n!n!} = \frac{(n+1) \cdot (n + 2) \cdot \cdots \cdot (2n-1) \cdot 2n}{2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot n}.# Причем число #C_{2n}^{n}# - натуральное, т.е. числитель последней дроби делится нацело на знаменатель. Если #p# - простое число и #n < p \leq 2n,# то оно не делится на #2,3, \cdots, n.# Следовательно, #C_{2n}^{n}# всегда можно представить в виде: #C_{2n}^{n} = p \cdot q (q \in \mathbf{N}).# Утверждение доказано.
Докажите, что число #C_{2n}^{n}# делится на любое простое число #p# такое, что #n < p \leq 2n.# .
Решение:
По формуле #C_{2n}^{n} = \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \frac{(2n)!}{n!n!} = \frac{(n+1) \cdot (n + 2) \cdot \cdots \cdot (2n-1) \cdot 2n}{2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot n}.# Причем число #C_{2n}^{n}# - натуральное, т.е. числитель последней дроби делится нацело на знаменатель. Если #p# - простое число и #n < p \leq 2n,# то оно не делится на #2,3, \cdots, n.# Следовательно, #C_{2n}^{n}# всегда можно представить в виде: #C_{2n}^{n} = p \cdot q (q \in \mathbf{N}).# Утверждение доказано.
