Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 848
2014-03-02 
Докажите, что если #p# - простое число, то число #C_{p}^{i}# при #1 \leq i \leq p-1# делится на #p.#р. Верно ли это утверждение, если число #p# не является простым?
Решение:
#C_{p}^{i} = \frac{p!}{i!(p-i)!} = \frac{(i+1) \cdot (i + 2) \cdot \cdots \cdot (p-1) \cdot p}{2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-i)} \in \mathbf{N},# т.е. числитель последней дроби нацело делится на знаменатель. Так как #p# - число простое, то #\text{НОД}(p,k) = 1,# где #k \in \{ 2,3, \cdots, p -i | 1 \leq i \leq p -1 \}.# Следовательно, число #(i+1) \cdot (i + 2) \cdot \cdots \cdot (p-1)# делится нацело на число #2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-i).# Итак, #C_{p}^{i} = p \cdot q,# где #q = \frac{(i+1) \cdot (i + 2) \cdot \cdots \cdot (p-1)}{2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-i)}# т.е. делится на #p ( p# - простое число). Если число #p# не является простым, то утверждение неверно. Например, #C_{4}^{2} = 6# и не делится на 4.
Докажите, что если #p# - простое число, то число #C_{p}^{i}# при #1 \leq i \leq p-1# делится на #p.#р. Верно ли это утверждение, если число #p# не является простым?
Решение:
#C_{p}^{i} = \frac{p!}{i!(p-i)!} = \frac{(i+1) \cdot (i + 2) \cdot \cdots \cdot (p-1) \cdot p}{2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-i)} \in \mathbf{N},# т.е. числитель последней дроби нацело делится на знаменатель. Так как #p# - число простое, то #\text{НОД}(p,k) = 1,# где #k \in \{ 2,3, \cdots, p -i | 1 \leq i \leq p -1 \}.# Следовательно, число #(i+1) \cdot (i + 2) \cdot \cdots \cdot (p-1)# делится нацело на число #2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-i).# Итак, #C_{p}^{i} = p \cdot q,# где #q = \frac{(i+1) \cdot (i + 2) \cdot \cdots \cdot (p-1)}{2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-i)}# т.е. делится на #p ( p# - простое число). Если число #p# не является простым, то утверждение неверно. Например, #C_{4}^{2} = 6# и не делится на 4.
