Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 846
2014-03-02 
Найдите простое число #p,# если известно, что число #13p + 1# является кубом некоторого натурального числа.
Решение:
Пусть #13p + 1 = n^{3}.# Тогда #13p = (n-1) \cdot (n^{2} + n + 1).# Так как произведение #(n-1) \cdot (n^{2} + n + 1).# равно произведению двух простых чисел 13 и #p,# то, с учетом #(n-1) < (n^{2} + n + 1).# возможны три случая:
1) # \begin{cases} n - 1 =1, &, \\ n^{2} + n + 1 = 13p; & \end{cases} \iff \begin{cases} n = 2, &, \\ 13p = 7. & \end{cases} # Этот случай не удовлетворяет условию задачи.
2) # \begin{cases} n - 1 =13, &, \\ n^{2} + n + 1 = p; & \end{cases} \iff \begin{cases} n = 14, &, \\ p = 211. & \end{cases} # Этот случай удовлетворяет условию задачи, т.к. 211 - простое число.
3) # \begin{cases} n - 1 = p, &, \\ n^{2} + n + 1 = 13; & \end{cases}# Имеем две возможности: # \begin{cases} n = -4, &, \\ p = -5. & \end{cases}# Этот случай не удовлетворяет условию задачи. # \begin{cases} n = 3, &, \\ p = 2. & \end{cases}# Этот случай удовлетворяет условию задачи.
Найдите простое число #p,# если известно, что число #13p + 1# является кубом некоторого натурального числа.
Решение:
Пусть #13p + 1 = n^{3}.# Тогда #13p = (n-1) \cdot (n^{2} + n + 1).# Так как произведение #(n-1) \cdot (n^{2} + n + 1).# равно произведению двух простых чисел 13 и #p,# то, с учетом #(n-1) < (n^{2} + n + 1).# возможны три случая:
1) # \begin{cases} n - 1 =1, &, \\ n^{2} + n + 1 = 13p; & \end{cases} \iff \begin{cases} n = 2, &, \\ 13p = 7. & \end{cases} # Этот случай не удовлетворяет условию задачи.
2) # \begin{cases} n - 1 =13, &, \\ n^{2} + n + 1 = p; & \end{cases} \iff \begin{cases} n = 14, &, \\ p = 211. & \end{cases} # Этот случай удовлетворяет условию задачи, т.к. 211 - простое число.
3) # \begin{cases} n - 1 = p, &, \\ n^{2} + n + 1 = 13; & \end{cases}# Имеем две возможности: # \begin{cases} n = -4, &, \\ p = -5. & \end{cases}# Этот случай не удовлетворяет условию задачи. # \begin{cases} n = 3, &, \\ p = 2. & \end{cases}# Этот случай удовлетворяет условию задачи.
