Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 841
2014-03-02 
Докажите, что если число #n# - составное, то число #2^{n} - 1# тоже составное.
Решение:
Пусть #n = p \cdot q, \text{где} \: 1 < p \leq q,#, где #2^{n} - 1 = 2^{pq} - 1 = (2^{p})^{q} -1.# тогда #2^{p} = x# Обозначив #x > 2# (заметим, что #2^{n} - 1 = z^{q} - 1# ), получим #x^{q} - 1 = (x - 1) \cdot (x^{q-1} + x^{q-2} + \cdots + x + 1).# . Но #2^{n} - 1# Значит, число #p# составное.
Докажите, что если число #n# - составное, то число #2^{n} - 1# тоже составное.
Решение:
Пусть #n = p \cdot q, \text{где} \: 1 < p \leq q,#, где #2^{n} - 1 = 2^{pq} - 1 = (2^{p})^{q} -1.# тогда #2^{p} = x# Обозначив #x > 2# (заметим, что #2^{n} - 1 = z^{q} - 1# ), получим #x^{q} - 1 = (x - 1) \cdot (x^{q-1} + x^{q-2} + \cdots + x + 1).# . Но #2^{n} - 1# Значит, число #p# составное.
