Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 828
2014-03-02 
Докажите, что наименьшее число, взаимно простое с числами #2,3, \cdots, n# просто.
Решение:
Обозначим через #a# наименьшее число, взаимно простое с #2,3, \cdots, n# Если бы число а не было простым, оно делилось бы на некоторое простое число #p < a.# Случай #p \leq n# невозможен, т.к. #a# взаимно просто с каждым из чисел #2,3, \cdots, n# и потому не делится ни на одно из них. Значит, #p > n# Но тогда #p# есть меньшее, чем #a,# число, взаимно простое с #2, 3, \cdots, n# что также невозможно. Таким образом, число #a# не может быть составным.
Докажите, что наименьшее число, взаимно простое с числами #2,3, \cdots, n# просто.
Решение:
Обозначим через #a# наименьшее число, взаимно простое с #2,3, \cdots, n# Если бы число а не было простым, оно делилось бы на некоторое простое число #p < a.# Случай #p \leq n# невозможен, т.к. #a# взаимно просто с каждым из чисел #2,3, \cdots, n# и потому не делится ни на одно из них. Значит, #p > n# Но тогда #p# есть меньшее, чем #a,# число, взаимно простое с #2, 3, \cdots, n# что также невозможно. Таким образом, число #a# не может быть составным.
