Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 821
2014-03-02 
Докажите, что при любых #n \geq 0# число #3^{2n+9} + 8n - 9# делится на 16.
Решение:
Ð ассмотрим отдельно случаи четного и нечетного #n.# 1) #n = 2k.# тогда #3^{2n+2} + 8n - 9 = 9 \cdot (3^{n} - 1) \cdot (3^{n} + 1) + 8n = 9 \cdot (3^{2k} - 1) \cdot (3^{2k} + 1) + 16k =# #= 9 \cdot (3^{k} - 1) \cdot (3^{k}+1) \cdot (9^{k} + 1) + 16k;# 2) #n = 2k - 1,# тогда #3^{2n+2} + 8n - 9 = 3^{4k} + 8 \cdot (2k - 1) - 9 = (3^{4k} - 1) + 16 \cdot (k-1) = (3^{k} - 1) \cdot (3^{k} + 1) \cdot (9^{k} + 1) + 16 \cdot (k-1).# Число #9^{k} + 1# четно; числа #3^{k} - 1# и #3^{k} + 1# четны и идут подряд, следовательно, одно из них обязательно делится на 4. Итак, произведение #(3^{k} - 1) \cdot (3^{k} + 1) \cdot (9^{k} + 1)# делится на 16, а значит, и число #3^{2n+2} + 8 n - 9# делится на 16.
Докажите, что при любых #n \geq 0# число #3^{2n+9} + 8n - 9# делится на 16.
Решение:
Ð ассмотрим отдельно случаи четного и нечетного #n.# 1) #n = 2k.# тогда #3^{2n+2} + 8n - 9 = 9 \cdot (3^{n} - 1) \cdot (3^{n} + 1) + 8n = 9 \cdot (3^{2k} - 1) \cdot (3^{2k} + 1) + 16k =# #= 9 \cdot (3^{k} - 1) \cdot (3^{k}+1) \cdot (9^{k} + 1) + 16k;# 2) #n = 2k - 1,# тогда #3^{2n+2} + 8n - 9 = 3^{4k} + 8 \cdot (2k - 1) - 9 = (3^{4k} - 1) + 16 \cdot (k-1) = (3^{k} - 1) \cdot (3^{k} + 1) \cdot (9^{k} + 1) + 16 \cdot (k-1).# Число #9^{k} + 1# четно; числа #3^{k} - 1# и #3^{k} + 1# четны и идут подряд, следовательно, одно из них обязательно делится на 4. Итак, произведение #(3^{k} - 1) \cdot (3^{k} + 1) \cdot (9^{k} + 1)# делится на 16, а значит, и число #3^{2n+2} + 8 n - 9# делится на 16.
