Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 820
2014-03-02 
Докажите, что при любом целом #n# число #n^{5} - n# делится на 30.
Решение:
#n^{5}-n = n(n^{4} - 1) = n(n-1)(n+1)(n^{2} + 1).# Число #n \cdot (n - 1) \cdot (n + 1)# делится на 2 и на 3. Так как 2 и 3 взаимно просты, число #n^{5} - b# делится на 6. Покажем, что число #n^{5} - n# делится на 5. Действительно, рассмотрев таблицу остатков от деления на 5, получим:
Таким образом, для любого #n# число #n^{5} - n# дает при делении на 5 остаток 0. Поскольку 6 и 5 взаимно просты, число #n^{5} - n# делится на 30.
Докажите, что при любом целом #n# число #n^{5} - n# делится на 30.
Решение:
#n^{5}-n = n(n^{4} - 1) = n(n-1)(n+1)(n^{2} + 1).# Число #n \cdot (n - 1) \cdot (n + 1)# делится на 2 и на 3. Так как 2 и 3 взаимно просты, число #n^{5} - b# делится на 6. Покажем, что число #n^{5} - n# делится на 5. Действительно, рассмотрев таблицу остатков от деления на 5, получим:
| #n# | 0 | 1 | 2 | -2 | -1 |
| #n^{2}# | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 |
| #n^{4}# | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| #n^{4} - 1# | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| #n cdot (n^{4} - 1)# | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
