Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 801
2014-06-13 
Из трех различных цифр получают шесть трехзначных чисел, всевозможным образом переставляя эти цифры (например: 123, 132, 213, 231, 312, 321). Докажите, что если среди этих шести чисел найдется число, делящееся на 37. то обязательно среди них будут и еще два числа, делящиеся на 37.
Решение:
Пусть число #\overline{abc}# делится на 37. Рассмотрим вначале число #A = 10 \cdot \overline{abc} - \overline{bca}# Тогда
#A = 1000 \cdot a + 100 \cdot b - 10 \cdot c - 100 \cdot b - 10 \cdot c - a = 999 \cdot a = 37 \cdot (27 \cdot a).#
Так как #A# делится на 37, то и число #\overline{bca} = 10 \cdot \overline{abc} - A# делится
на 37. Рассмотрим теперь число #B = 10 \cdot bca - cab.# Тогда
#B = 1000 \cdot b + 100 \cdot c + 10 \cdot a - 100 \cdot c - 10 \cdot a - b = 999 \cdot b = 37 \cdot (27 \cdot b).#
Так как #B# делится на 37, то и число #\overline{cab} = 10 \cdot \overline{bca} - B# делится на 37.
Из трех различных цифр получают шесть трехзначных чисел, всевозможным образом переставляя эти цифры (например: 123, 132, 213, 231, 312, 321). Докажите, что если среди этих шести чисел найдется число, делящееся на 37. то обязательно среди них будут и еще два числа, делящиеся на 37.
Решение:
Пусть число #\overline{abc}# делится на 37. Рассмотрим вначале число #A = 10 \cdot \overline{abc} - \overline{bca}# Тогда
#A = 1000 \cdot a + 100 \cdot b - 10 \cdot c - 100 \cdot b - 10 \cdot c - a = 999 \cdot a = 37 \cdot (27 \cdot a).#
Так как #A# делится на 37, то и число #\overline{bca} = 10 \cdot \overline{abc} - A# делится
на 37. Рассмотрим теперь число #B = 10 \cdot bca - cab.# Тогда
#B = 1000 \cdot b + 100 \cdot c + 10 \cdot a - 100 \cdot c - 10 \cdot a - b = 999 \cdot b = 37 \cdot (27 \cdot b).#
Так как #B# делится на 37, то и число #\overline{cab} = 10 \cdot \overline{bca} - B# делится на 37.
