ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Для заданного значения $n \in \mathbf{N}$, большего 1, обозначено
$m_{k}=n! + k, k \in \mathbf{N}$.
доказать, что для любого значения $k \in {1; \cdots ; n}$ существует простое число $p$, на которое делится число $m_{k}$ и не делится ни одно из остальных чисел
$m_{1}, \cdots , m_{k-1},m_{k+1}, \cdots , m_{n}$.


Решение:


Пусть
$l_{k}= \frac{m_{k}}{k} = \frac{n!}{k} +1 (k=1, \cdots , n)$
Докажем, что если $p$ - простой делитель числа $l_{k}$, то число $p$ не делит ни одно из чисел $m_{j}, j \neq k$. Так как при этом число $p$ делит число $m_{k}=l_{k}k$, то оно будет искомым. Предположим, что $l_{k} \vdots p$ и $m_{j} \vdots p$ при некоторых значениях $k \neq j$. Тогда $l_{j} \vdots p$ или $j \vdots p$. Случай $j \vdots p$ невозможен, так как число $j$ является одним из сомножителей в произведении
$1 \cdot 2 \cdots (k-1)(k+1) \cdots n = l_{k} -1$
и, значит, $(l_{k}-l) \vdots j$ и
$(j,l_{k})=(j,1)=1$.
Остается рассмотреть случай $l_{k} \vdots p, l_{j} \vdots p (k \neq j)$. Пусть $p \leq n$. Тогда, если $p \neq k$,то число $p$ взаимно просто с числом $l_{k}$ (доказательство этого факта подобно проведенному выше для числа $j$), а если $p \neq j$, то число $p$ взаимно просто с числом $l_{j}$ (доказательство аналогично). Следовательно, в любом случае число $p$ взаимно просто хотя бы с одним из чисел $l_{k}$ или $l_{j}$. Поэтому неравенство $p \leq n$ невозможно. Пусть $p > n$. Тогда имеем
$k-j=m_{k}-m_{j}=kl_{k}-jl_{j} \equiv 0 (\mod p)$,
т, е, $(k-j) \vdots p$, что невозможно, так как
$0 < |k-j| < n < p$.
Утверждение доказано.