ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-02-27   
Найти все непрерывно дифференцируемые на отрезке #[0, \pi/2]# функции #y(x),# удовлетворяющие условиям #y(0) = 0# и #\int_{0}^{\pi/2} (y^{\prime}(x))^{2} dx = \int_{0}^{\pi/2} 2y(x) \sin x dx - \frac{ \pi}{4}.#


Решение:


#\int_{0}^{\pi/2} 2y(x) \sin x dx = -2y(x) \cos x |_{x=0}^{/pi /2} + \int_{0}^{\pi/2} 2y^{\prime}(x) \cos x dx = \int_{0}^{\pi/2} 2y^{\prime}(x) \cos x dx # С учетом равенства #\frac{\pi}{4} = \int_{0}^{\pi /2} \cos^{2} x dx,# получаем, что уравнение принимает вид # \int_{0}^{\pi/2} ((y^{\prime}(x))^{2} - 2 y^{\prime}(x) \cos x + \cos^{2} x) dx = \int_{0}^{\pi/2} ((y^{\prime}(x)) - \cos x)^{2} dx =0,# откуда в силу непрерывности функции #y^{\prime}(x) - \cos x# получаем, что #y^{\prime}(x) = \cos x.# Следовательно, #y(x) = \sin x +C.# С учетом условия #y(0) = 0# получаем, что #C = 0# и #y(x) = \sin x.# Другое решение Продолжим решение #y(x)# на отрезок #[ \pi/2, \pi]# по формуле #y(x) = y(\pi - x).# Полученную функцию продолжим нечетно на отрезок #[- \pi, 0].# Ряды Фурье (продолженных) функций #y(x)# и #y^{\prime}(x)# имеют вид #y(x) = \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} \sin kx, y^{\prime}(x) \sim \sum_{k=1}^{\infty} kb_{k} \cos kx.#