Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 793
2014-02-27 
Пусть #f : [1, + \infty) \rightarrow \mathbf{R}# равномерно непрерывна. Верно ли что а) (2) #\frac{f(x)}{x}# ограничена; б) (2) существует #lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{f(x)}{x}.#
Решение:
Ответ: (а) - да, (б) - нет. Для доказательства первого пункта возьмём некоторые #\varepsilon# и #\delta# из определения равномерной непрерывности. Ð азбив отрезок #[1, x]# на отрезки длиной #< \delta# (их понадобится не более #\frac{x}{ \delta}#) получим, что #|f(x)| < |f(1)| + \frac{x \varepsilon}{\delta},# следовательно #\left | \frac{f(x)}{x} \right | < |f(1)| + \frac{\varepsilon}{ \delta}.# Во втором пункте рассмотрим функцию #f(x) = x \sin ln x,# тогда её производная #f^{\prime}(x) = \sin ln x + \cos ln x# ограничена, следовательно #f(x)# равномерно непрерывна. Но #\frac{f(x)}{x} = \sin ln x# не имеет предела на бесконечности. Замечание 2. Ðналогично можно доказать более общее утверждение. Введём определение: #r# гиперграфом называется набор #r#-элементных подмножеств (это рёбра #E#) множества #V# (вершины). Пусть #m(r)# - минимальное количество рёбер #r#-гиперграфа, который нельзя окрасить в 2 цвета, не получив одноцветного ребра. Докажем лемму. Лемма. Имеет место неравенство #m(rt) \leq m (r)m(t)^{r}.# Лемма доказывается так. Пусть #r#-гиперграф с вершинами #U# и рёбрами #G# имеет #m(r)# рёбер, #t# гиперграф с вершинами #W# и рёбрами #F# имеет #m(t)# рёбер, и ни один из них не красится в два цвета. В качестве множества вершин нового гиперграфа рассмотрим произведение #V = U \times W,# обозначим проекцию #\pi : U \times W \rightarrow U.# Набор из #rt# элементов #e \subseteq V# назовём ребром #(e \in E)# если #\pi(e) \in G# и #\forall u \in \pi(e) \pi^{-1}(u) = \{ u \} \times f,# где #f \in F.# Очевидно, что #|E| = m(r)m(t){r}.# Предположим теперь, что #V# раскрашено в два цвета. Из неокрашиваемости #F# следует, что для всякого #u \in U# найдётся #f(u) \in F,# такой что #\{ u \} \times f(u)# одноцветно. «Условно окрасим» #u# в цвет данного #f(u)# Из неокрашиваемости #G# следует, что найдётся набор #g \in G# из #r# таких #u,# условно окрашенных в один и тот же цвет. Тогда ребро #e = \bigcup_{u \in g} \{ u \} \times f(u)# одноцветно и лемма доказана. Теперь ответ «нет» на пункт (в) следует из утверждений:
• #m(2) = 3# - эт0 очевидно;
• #m(3) \leq 7# - это следует из рассмотрения проективной плоскости на 7 точках и разбора пары случаев;
• по Лемме #m(6) \leq 3 \cdot 7^{2} =147.#
Пусть #f : [1, + \infty) \rightarrow \mathbf{R}# равномерно непрерывна. Верно ли что а) (2) #\frac{f(x)}{x}# ограничена; б) (2) существует #lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{f(x)}{x}.#
Решение:
Ответ: (а) - да, (б) - нет. Для доказательства первого пункта возьмём некоторые #\varepsilon# и #\delta# из определения равномерной непрерывности. Ð азбив отрезок #[1, x]# на отрезки длиной #< \delta# (их понадобится не более #\frac{x}{ \delta}#) получим, что #|f(x)| < |f(1)| + \frac{x \varepsilon}{\delta},# следовательно #\left | \frac{f(x)}{x} \right | < |f(1)| + \frac{\varepsilon}{ \delta}.# Во втором пункте рассмотрим функцию #f(x) = x \sin ln x,# тогда её производная #f^{\prime}(x) = \sin ln x + \cos ln x# ограничена, следовательно #f(x)# равномерно непрерывна. Но #\frac{f(x)}{x} = \sin ln x# не имеет предела на бесконечности. Замечание 2. Ðналогично можно доказать более общее утверждение. Введём определение: #r# гиперграфом называется набор #r#-элементных подмножеств (это рёбра #E#) множества #V# (вершины). Пусть #m(r)# - минимальное количество рёбер #r#-гиперграфа, который нельзя окрасить в 2 цвета, не получив одноцветного ребра. Докажем лемму. Лемма. Имеет место неравенство #m(rt) \leq m (r)m(t)^{r}.# Лемма доказывается так. Пусть #r#-гиперграф с вершинами #U# и рёбрами #G# имеет #m(r)# рёбер, #t# гиперграф с вершинами #W# и рёбрами #F# имеет #m(t)# рёбер, и ни один из них не красится в два цвета. В качестве множества вершин нового гиперграфа рассмотрим произведение #V = U \times W,# обозначим проекцию #\pi : U \times W \rightarrow U.# Набор из #rt# элементов #e \subseteq V# назовём ребром #(e \in E)# если #\pi(e) \in G# и #\forall u \in \pi(e) \pi^{-1}(u) = \{ u \} \times f,# где #f \in F.# Очевидно, что #|E| = m(r)m(t){r}.# Предположим теперь, что #V# раскрашено в два цвета. Из неокрашиваемости #F# следует, что для всякого #u \in U# найдётся #f(u) \in F,# такой что #\{ u \} \times f(u)# одноцветно. «Условно окрасим» #u# в цвет данного #f(u)# Из неокрашиваемости #G# следует, что найдётся набор #g \in G# из #r# таких #u,# условно окрашенных в один и тот же цвет. Тогда ребро #e = \bigcup_{u \in g} \{ u \} \times f(u)# одноцветно и лемма доказана. Теперь ответ «нет» на пункт (в) следует из утверждений:
• #m(2) = 3# - эт0 очевидно;
• #m(3) \leq 7# - это следует из рассмотрения проективной плоскости на 7 точках и разбора пары случаев;
• по Лемме #m(6) \leq 3 \cdot 7^{2} =147.#
