Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 790
2015-02-14 
Пусть #\varepsilon > 0# и заданы единичные векторы #\{ p_{i} \}_{i=1}^{I}# из #\mathbf{R}^{n}#и неотрицательные числа #\{ \alpha_{i} \}_{i=1}^{I}# такие, что #\| p_{i} - p_{j} \| < \varepsilon# для всех #1 \leq i, j \leq I# и #\sum_{i=1}^{I} \alpha_{i} = 1.# Доказать, что вектор
#p = \sum_{i=1}^{I} \alpha_{i} p_{i}#
удовлетворяет оценке
#1 - \frac{1}{2} \varepsilon^{2} \leq \| p \| \leq 1.#
Решение:
Правая оценка очевидна в силу неравенства треугольника. Условие #\| p_{i} - p_{j} \| < \varepsilon# равносильно условию #(p_{i}, p_{j}) = \frac{1}{2} (\| p_{i} \|^{2} + \| p_{j} \|^{2} - \| p_{i} - p_{j} \|^{2}) > 1 - \varepsilon^{2}/2.# Но тогда #1 \geq \| p \| \geq#
#\| p \|^{2} = \sum_{i,j} \alpha_{i} \alpha_{j} (p_{i}, p_{j}) \geq ( 1 - \varepsilon^{2}/2 ) \sum_{i,j} \alpha_{i} \alpha_{j} = 1 - \varepsilon^{2}/2.#
Пусть #\varepsilon > 0# и заданы единичные векторы #\{ p_{i} \}_{i=1}^{I}# из #\mathbf{R}^{n}#и неотрицательные числа #\{ \alpha_{i} \}_{i=1}^{I}# такие, что #\| p_{i} - p_{j} \| < \varepsilon# для всех #1 \leq i, j \leq I# и #\sum_{i=1}^{I} \alpha_{i} = 1.# Доказать, что вектор
#p = \sum_{i=1}^{I} \alpha_{i} p_{i}#
удовлетворяет оценке
#1 - \frac{1}{2} \varepsilon^{2} \leq \| p \| \leq 1.#
Решение:
Правая оценка очевидна в силу неравенства треугольника. Условие #\| p_{i} - p_{j} \| < \varepsilon# равносильно условию #(p_{i}, p_{j}) = \frac{1}{2} (\| p_{i} \|^{2} + \| p_{j} \|^{2} - \| p_{i} - p_{j} \|^{2}) > 1 - \varepsilon^{2}/2.# Но тогда #1 \geq \| p \| \geq#
#\| p \|^{2} = \sum_{i,j} \alpha_{i} \alpha_{j} (p_{i}, p_{j}) \geq ( 1 - \varepsilon^{2}/2 ) \sum_{i,j} \alpha_{i} \alpha_{j} = 1 - \varepsilon^{2}/2.#
