ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Решить уравнение
$(y+1)^{x}-1=y!$
в натуральных числах.


Решение:


Пусть пара чисел $x,y \in \mathbf{N}$ удовлетворяет уравнению. Заметим, что число $p=y+1$ простое. Действительно, если существует делитель $d$ числа $p$, удовлетворяющий условию $1 < d < y+1$, то имеем $y! \vdots d$ и
$z=(y + 1)^{x} - y! \equiv 0 (\mod d)$,
что невозможно. Поэтому имеем уравнение
$p^{x} - 1 = (p-1)!$,
из которого вытекает, что $p < 7$. Действительно, предположим, что $p \geq 7$. Тогда, сокращая обе части уравнения на $p-1$, получаем равенство
$p^{x-1} + \cdots + 1=(p - 2)!$,
в котором правая часть делится на $2 \cdot (p - 1)/2=p – 1$ (так как $2 < (p -1)/2 \leq p-2$ при $p \geq 7$ и $(p - 1)/2 \in \mathbf{Z}$, а левая часть представляет собой сумму $x$ чисел вида
$p^{i} \equiv l^{i} \equiv 1 (\mod (p-1)), i=0,1 , \cdots , x-1$.
Следовательно, $x \equiv 0 (\mod (p - 1))$, а значит, $x \geq p-1$. Но это невозможно, так как
$p^{x-1} < p^{x-1} + \cdots + 1 = (p-1)1 < (p-2)^{p-2} < p^{p-2}$,
т.е. $x < p-1$. Итак, простое число $p < 7$ может принимать только значения 2, 3 или 5. Если $p = 2$, то
$2^{x} - 1 = 1$ и $x=1, y=1$.
Если $p=3$, то
$3^{x} - 1 = 2$ и $x=1, y=2$.
Если же $p=5$, то
$5^{x} - 1 = 24$ и $x=2, y=4$.
Таким образом, получаем, что исходному уравнению удовлетворяют только три пары натуральных чисел $(x; y): (1; 1). (1; 2)$ и $(2; 4)$.