Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 788
2014-02-27 
Определим последовательность #\{ t_{n}(q) \}# следующим образом # t_{0}(q) \} = 0, t_{n+1}(q) = \frac{q}{1 - t_{n}(q)}, \text{для} \: n \geq 0.# Найти для каждого #n \geq 1# минимальное действительное положительное #q,# для которого #t_{n}(q)# определено и равно 1.
Решение:
Функция #f : t \rightarrow \frac{q}{1-t}# является проективным преобразованием прямой. Её матрица в однородных координатах #(t = x/y)# выглядит так #A(q) = \begin{pmatrix} 0 & q \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.# Значит, мы ищем минимальное #q,# для которого #A(q)^{n} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix}# (2) при некотором ненулевом #x.# Заметим, что формула 2 выполняется тогда и только тогда, когда #A(q)^{n+1} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ 0 \end{pmatrix}# и #A(q)^{n+2} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ z\end{pmatrix}# для некоторых ненулевых #y# и #z.# Следовательно, мы ищем случаи, когда #A(q)^{n+2}# обращает вектор #(0, 1)# в коллинеарный ему. Обозначим матрицу #B(q) = \frac{1}{\sqrt{q}}A(q).# Ð¥арактеристические многочлены #A(q)# и #B(q)# выглядят следующим образом #P_{A}(\lambda) = \lambda^{2} - \lambda + q, P_{B}(\lambda) = \lambda^{2} - \frac{1}{\sqrt{q}} \lambda + 1.# Итак, мы ищем минимальное положительное #q,# для которого #B(q)^{n+2}# обращает вектор #(0, 1)# в коллинеарный себе. Ð ассмотрим три случая. Матрица #B(q)# в случае #q < 1/4# имеет два разных положительных собственных значения, и #(0, 1)# не является собственным вектором. Следовательно #(0, 1)# не может вернуться на ту же прямую при последовательном применении #B(q)# это очевидно в базисе из собственных векторов. Для #q = 1/4# матрица #B(q)# подобна Жордановой клетке, #(0, 1)# также не является собственным вектором, и также #(0, 1)# не возвращается на ту же прямую при последовательном применении #B(q)# Для ## матрица #B(q)# подобна вращению на угол #\alpha,# определяемый из инвариантности следа #2 \cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{q}}.# Ясно, что #\alpha# растёт при росте #q# на интервале #(1/4, + \infty)# Значит, минимальный #\alpha,# который превратит некоторый (а значит и все) вектор в коллинеарный ему за #n+2# шагов, равен #\alpha_{min} = \frac{ \pi}{ n + 2},# а его соответствующий параметр #q# равен #q_{min} = \frac{1}{4 \cos^{2} \left ( \frac{\pi}{n+2} \right )}.#
Определим последовательность #\{ t_{n}(q) \}# следующим образом # t_{0}(q) \} = 0, t_{n+1}(q) = \frac{q}{1 - t_{n}(q)}, \text{для} \: n \geq 0.# Найти для каждого #n \geq 1# минимальное действительное положительное #q,# для которого #t_{n}(q)# определено и равно 1.
Решение:
Функция #f : t \rightarrow \frac{q}{1-t}# является проективным преобразованием прямой. Её матрица в однородных координатах #(t = x/y)# выглядит так #A(q) = \begin{pmatrix} 0 & q \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.# Значит, мы ищем минимальное #q,# для которого #A(q)^{n} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix}# (2) при некотором ненулевом #x.# Заметим, что формула 2 выполняется тогда и только тогда, когда #A(q)^{n+1} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ 0 \end{pmatrix}# и #A(q)^{n+2} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ z\end{pmatrix}# для некоторых ненулевых #y# и #z.# Следовательно, мы ищем случаи, когда #A(q)^{n+2}# обращает вектор #(0, 1)# в коллинеарный ему. Обозначим матрицу #B(q) = \frac{1}{\sqrt{q}}A(q).# Ð¥арактеристические многочлены #A(q)# и #B(q)# выглядят следующим образом #P_{A}(\lambda) = \lambda^{2} - \lambda + q, P_{B}(\lambda) = \lambda^{2} - \frac{1}{\sqrt{q}} \lambda + 1.# Итак, мы ищем минимальное положительное #q,# для которого #B(q)^{n+2}# обращает вектор #(0, 1)# в коллинеарный себе. Ð ассмотрим три случая. Матрица #B(q)# в случае #q < 1/4# имеет два разных положительных собственных значения, и #(0, 1)# не является собственным вектором. Следовательно #(0, 1)# не может вернуться на ту же прямую при последовательном применении #B(q)# это очевидно в базисе из собственных векторов. Для #q = 1/4# матрица #B(q)# подобна Жордановой клетке, #(0, 1)# также не является собственным вектором, и также #(0, 1)# не возвращается на ту же прямую при последовательном применении #B(q)# Для ## матрица #B(q)# подобна вращению на угол #\alpha,# определяемый из инвариантности следа #2 \cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{q}}.# Ясно, что #\alpha# растёт при росте #q# на интервале #(1/4, + \infty)# Значит, минимальный #\alpha,# который превратит некоторый (а значит и все) вектор в коллинеарный ему за #n+2# шагов, равен #\alpha_{min} = \frac{ \pi}{ n + 2},# а его соответствующий параметр #q# равен #q_{min} = \frac{1}{4 \cos^{2} \left ( \frac{\pi}{n+2} \right )}.#
