Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 787
2014-02-27 
Пусть функция #f : \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}# непрерывна. Доказать, что для любого интервала #(a, b) \subset \mathbf{R}# найдется точка #x_{0} \in (a,b)# и число #l# такие, что для всех #x \in \mathbf{R}# выполнено неравенство #f(x) \geq f(x_{0}) + l \cdot (x - x_{0}), x \rightarrow x_{0}.# (*)
Решение:
Будем без ограничения общности считать, что для некоторого #\varepsilon > 0 [- \varepsilon, \varepsilon] \subset (a,b); min \{ f(x)| x \in [ -\varepsilon, \varepsilon] \} = 0, max \{ f(x) | x \in # #[- \varepsilon, \varepsilon] = M \geq 0.# Пусть #y_{0}(x) = - \frac{M}{\varepsilon^{2}}x^{2}# и #t = sup \{ \tau \geq 0 | y_{0}(x) + \tau \leq f(x), \forall x \in [ - \varepsilon, \varepsilon] \}.# В силу компактности графиков функций #f# и #y_{0}# на отрезке #[ - \varepsilon, \varepsilon]# найдется точка #x_{0} \in [ - \varepsilon, \varepsilon]# такая, что #y_{0}(x_{0}) + t =f(x_{0});# при этом #y_{0}(x) +# #t \leq f(x)# для всех #x \in [ - \varepsilon, \varepsilon].# Касательная к параболе #y = y_{0}(x) + t# в точке #x = x_{0}# (имеющая уравнение #y = - \frac{2M}{\varepsilon^{2}} x_{0} \cdot x + f(x_{0})# ) и есть линейная функция из правой части (*).
Пусть функция #f : \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}# непрерывна. Доказать, что для любого интервала #(a, b) \subset \mathbf{R}# найдется точка #x_{0} \in (a,b)# и число #l# такие, что для всех #x \in \mathbf{R}# выполнено неравенство #f(x) \geq f(x_{0}) + l \cdot (x - x_{0}), x \rightarrow x_{0}.# (*)
Решение:
Будем без ограничения общности считать, что для некоторого #\varepsilon > 0 [- \varepsilon, \varepsilon] \subset (a,b); min \{ f(x)| x \in [ -\varepsilon, \varepsilon] \} = 0, max \{ f(x) | x \in # #[- \varepsilon, \varepsilon] = M \geq 0.# Пусть #y_{0}(x) = - \frac{M}{\varepsilon^{2}}x^{2}# и #t = sup \{ \tau \geq 0 | y_{0}(x) + \tau \leq f(x), \forall x \in [ - \varepsilon, \varepsilon] \}.# В силу компактности графиков функций #f# и #y_{0}# на отрезке #[ - \varepsilon, \varepsilon]# найдется точка #x_{0} \in [ - \varepsilon, \varepsilon]# такая, что #y_{0}(x_{0}) + t =f(x_{0});# при этом #y_{0}(x) +# #t \leq f(x)# для всех #x \in [ - \varepsilon, \varepsilon].# Касательная к параболе #y = y_{0}(x) + t# в точке #x = x_{0}# (имеющая уравнение #y = - \frac{2M}{\varepsilon^{2}} x_{0} \cdot x + f(x_{0})# ) и есть линейная функция из правой части (*).
