Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 786
2014-02-27 
Комплексное векторное пространство #\mathbf{C}^{n}# можно рассматривать также как вещественное векторное пространство размерности #2n.# Доказать, что любое вещественное подпространство #L \subset \mathbf{C}^{n}# вещественной размерности #2n - 1# содержит ровно одно комплексное подпространство #L^{\prime} \subset \mathbf{C}^{n}# комплексной размерности #n-1.#
Решение:
Ð ассмотрим квадрат нормы в #\mathbf{C}^{n},# заданный как #\| (z_{1}, \cdots, z_{n}) \|^{2} = \sum_{i=1}^{n} |z_{i}|^{2},# его можно интерпретировать как квадрат в смысле вещественного скалярного произведения #(v,w)_{\mathbf{R}} = \frac{1}{2} (\| v + w \|^{2} - \| v \|^{2} - \| w \|^{2})# и в смысле комплексного скалярного произведения #(v,w)_{\mathbf{C}} = \sum_{i=0}^{n} v_{i} \overline{w}_{i},# заметим, что при этом #(v,w)_{\mathbf{R}} = Re (v,w)_{\mathbf{C}}.# (1) Ð ассмотрим ненулевой вектор, ортогональный #L# в смысле #( \cdot, \cdot )_{\mathbf{R}},# пусть это вектор #n.# Тогда можно определить его ортогональное дополнение в смысле #( \cdot, \cdot )_{\mathbf{C}}# #L^{\prime} = \{ v \in \mathbf{C}^{n} : (n, v)_{\mathbf{C}} = 0 \},# очевидно #L^{\prime} \subset L# и его комплексная размерность размерность равна #n -1.# Если существует другое #n - 1# -мерное комплексное подпространство #L^{\prime \prime} \subset# #L,# то по определению #n# #(n, L^{\prime \prime})_{\mathbf{R}} = 0 \Longrightarrow \forall \alpha \in \mathbf{C} (n, \alpha L^{\prime \prime})_{\mathbf{R}} = 0,# следовательно по формуле (1) #\forall \alpha \in \mathbf{C} Re (n, \alpha L^{\prime \prime})_{\mathbf{C}} = Re \overline{\alpha} (n, L^{\prime \prime})_{\mathbf{C}} = 0, \Longrightarrow (n, L^{\prime \prime})_{\mathbf{C}} = 0. # Значит, #L^{\prime \prime}# является ортогональным дополнением к #n# по скалярному произведению #(\cdot, \cdot)_{\mathbf[C]},# то есть #L^{\prime \prime} = L^{\prime}.#
Комплексное векторное пространство #\mathbf{C}^{n}# можно рассматривать также как вещественное векторное пространство размерности #2n.# Доказать, что любое вещественное подпространство #L \subset \mathbf{C}^{n}# вещественной размерности #2n - 1# содержит ровно одно комплексное подпространство #L^{\prime} \subset \mathbf{C}^{n}# комплексной размерности #n-1.#
Решение:
Ð ассмотрим квадрат нормы в #\mathbf{C}^{n},# заданный как #\| (z_{1}, \cdots, z_{n}) \|^{2} = \sum_{i=1}^{n} |z_{i}|^{2},# его можно интерпретировать как квадрат в смысле вещественного скалярного произведения #(v,w)_{\mathbf{R}} = \frac{1}{2} (\| v + w \|^{2} - \| v \|^{2} - \| w \|^{2})# и в смысле комплексного скалярного произведения #(v,w)_{\mathbf{C}} = \sum_{i=0}^{n} v_{i} \overline{w}_{i},# заметим, что при этом #(v,w)_{\mathbf{R}} = Re (v,w)_{\mathbf{C}}.# (1) Ð ассмотрим ненулевой вектор, ортогональный #L# в смысле #( \cdot, \cdot )_{\mathbf{R}},# пусть это вектор #n.# Тогда можно определить его ортогональное дополнение в смысле #( \cdot, \cdot )_{\mathbf{C}}# #L^{\prime} = \{ v \in \mathbf{C}^{n} : (n, v)_{\mathbf{C}} = 0 \},# очевидно #L^{\prime} \subset L# и его комплексная размерность размерность равна #n -1.# Если существует другое #n - 1# -мерное комплексное подпространство #L^{\prime \prime} \subset# #L,# то по определению #n# #(n, L^{\prime \prime})_{\mathbf{R}} = 0 \Longrightarrow \forall \alpha \in \mathbf{C} (n, \alpha L^{\prime \prime})_{\mathbf{R}} = 0,# следовательно по формуле (1) #\forall \alpha \in \mathbf{C} Re (n, \alpha L^{\prime \prime})_{\mathbf{C}} = Re \overline{\alpha} (n, L^{\prime \prime})_{\mathbf{C}} = 0, \Longrightarrow (n, L^{\prime \prime})_{\mathbf{C}} = 0. # Значит, #L^{\prime \prime}# является ортогональным дополнением к #n# по скалярному произведению #(\cdot, \cdot)_{\mathbf[C]},# то есть #L^{\prime \prime} = L^{\prime}.#
