Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 785
2014-02-27 
Пусть #f \in C^{2} ([0,1]).# Найти #min \int_{0}^{1} | f^{\prime \prime} (x)|^{2} dx# при условии #f(0) = f(1) =0, f^{\prime}(0) = 1.#
Решение:
По формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме #f(1) = f^{\prime}(0) + \int_{0}^{1} f^{\prime \prime} (t) (1 - t) dt,# откуда #\left | \int_{0}^{1} f^{\prime \prime} (t) (1-t) dt \right | = 1.# По неравенству Коши имеем #1 \leq \left ( \int_{0}^{1} (f^{\prime \prime}(t))^{2} dt \right )^{1/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}.# Ð авенство достигнется, когда функции #f^{\prime \prime} (t)# и #1 - t# будут пропорциональны, откуда #f(t) (1/2) \cdot t (t-1)(t-2)# и минимум равен 3. Задачу можно решить и с помощью вариационного исчисления.
Пусть #f \in C^{2} ([0,1]).# Найти #min \int_{0}^{1} | f^{\prime \prime} (x)|^{2} dx# при условии #f(0) = f(1) =0, f^{\prime}(0) = 1.#
Решение:
По формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме #f(1) = f^{\prime}(0) + \int_{0}^{1} f^{\prime \prime} (t) (1 - t) dt,# откуда #\left | \int_{0}^{1} f^{\prime \prime} (t) (1-t) dt \right | = 1.# По неравенству Коши имеем #1 \leq \left ( \int_{0}^{1} (f^{\prime \prime}(t))^{2} dt \right )^{1/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}.# Ð авенство достигнется, когда функции #f^{\prime \prime} (t)# и #1 - t# будут пропорциональны, откуда #f(t) (1/2) \cdot t (t-1)(t-2)# и минимум равен 3. Задачу можно решить и с помощью вариационного исчисления.
