Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 784
2014-02-27 
Пусть #P(y)# - многочлен степени не менее первой. При каких значениях #y_{0} \in \mathbf{R}# решение задачи Коши #y^{\prime} = P(y),# #y(0) = y_{0},# существует на полуоси #[ 0, + \infty )?#
Решение:
Пусть #y_{1} < \cdots < y_{m}# - корни многочлена. Если #y_{0} = y_{k},# то решение #y(x) \equiv y_{k}# существует при всех #x.# Пусть #y_{0} \in (y_{k-1}, y_{k}).# Если #P(y) >0# на #(y_{k-1}, y_{k}),# то продолжимость решения вправо эквивалентна расходимости интеграла #x = \int_{y_{0}}^{y_{k}} \frac{dy}{P(y)},# которая имеет место по признаку сравнения. Если #P(y) < 0# на #(y_{k-1}, y_{k}),# то продолжимость решения вправо эквивалентна расходимости интеграла #x = \int_{y_{0}}^{y_{k-1}} \frac{dy}{P(y)},# которая также имеет место. Если #y_{0} > y_{m},# то при #P(y) > 0# при #y > y_{m}# продолжение вправо имеет место при расходимости #x = \int_{y_{0}}^{+ \infty} \frac{dy}{P(y)}.# Последнее имеет место при #deg P = 1# и не имеет места в противном случае. Если #P(y) < 0# при #y > y_{m}# то продолжимость решения вправо эквивалентна расходимости интеграла #x = \int_{y_{0}}^{y_{m}} \frac{dy}{P(y)},# которая имеет место. Ðналогично исследуется случай #y_{0} < y_{1}.# Итак, при #deg P = 1# продолжимость вправо имеет место при любом #y_{0}.# При #deg P \geq 2# продолжимость вправо имеет место только при наличии корней у #P,# когда #y_{0}# лежит между корнями #P,# или #y_{0} > y_{m}# и #P(y) < 0# при #y > y_{m},# или #y_{0} < y_{1}# и #P(y) > 0# при #y < y_{1},# или #y_{0} = y_{k}.# В других случаях решение задачи Коши не продолжимо вправо.
Пусть #P(y)# - многочлен степени не менее первой. При каких значениях #y_{0} \in \mathbf{R}# решение задачи Коши #y^{\prime} = P(y),# #y(0) = y_{0},# существует на полуоси #[ 0, + \infty )?#
Решение:
Пусть #y_{1} < \cdots < y_{m}# - корни многочлена. Если #y_{0} = y_{k},# то решение #y(x) \equiv y_{k}# существует при всех #x.# Пусть #y_{0} \in (y_{k-1}, y_{k}).# Если #P(y) >0# на #(y_{k-1}, y_{k}),# то продолжимость решения вправо эквивалентна расходимости интеграла #x = \int_{y_{0}}^{y_{k}} \frac{dy}{P(y)},# которая имеет место по признаку сравнения. Если #P(y) < 0# на #(y_{k-1}, y_{k}),# то продолжимость решения вправо эквивалентна расходимости интеграла #x = \int_{y_{0}}^{y_{k-1}} \frac{dy}{P(y)},# которая также имеет место. Если #y_{0} > y_{m},# то при #P(y) > 0# при #y > y_{m}# продолжение вправо имеет место при расходимости #x = \int_{y_{0}}^{+ \infty} \frac{dy}{P(y)}.# Последнее имеет место при #deg P = 1# и не имеет места в противном случае. Если #P(y) < 0# при #y > y_{m}# то продолжимость решения вправо эквивалентна расходимости интеграла #x = \int_{y_{0}}^{y_{m}} \frac{dy}{P(y)},# которая имеет место. Ðналогично исследуется случай #y_{0} < y_{1}.# Итак, при #deg P = 1# продолжимость вправо имеет место при любом #y_{0}.# При #deg P \geq 2# продолжимость вправо имеет место только при наличии корней у #P,# когда #y_{0}# лежит между корнями #P,# или #y_{0} > y_{m}# и #P(y) < 0# при #y > y_{m},# или #y_{0} < y_{1}# и #P(y) > 0# при #y < y_{1},# или #y_{0} = y_{k}.# В других случаях решение задачи Коши не продолжимо вправо.
