Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 783
2014-02-27 
Матрица #A# обратима. Верно ли, что существует многочлен #p# такой, что #A^{-1} = p(A)?#
Решение:
Пусть #det (A \lambda E) = \alpha_{0} + \alpha_{1} \lambda + \cdots + \alpha_{n-1} \lambda^{n-1} + (-1)^{n} \lambda^{n}.# При этом #\alpha_{0} = det A \neq 0,# т.к. матрица #A# невырождена. По теореме Гамильтона-Кэли #\alpha_{0} + \alpha_{1} A + \cdots + \alpha_{n-1}A^{n-1} + (-1)^{n}A^{n} = 0,# откуда #A^{-1} = p(A),# где #p( \lambda) = - \frac{1}{\alpha_{0}} (\alpha_{1} + \cdots + \alpha_{n-2} \lambda^{n-1} + (-1)^{n} \lambda^{n-1}).#
Матрица #A# обратима. Верно ли, что существует многочлен #p# такой, что #A^{-1} = p(A)?#
Решение:
Пусть #det (A \lambda E) = \alpha_{0} + \alpha_{1} \lambda + \cdots + \alpha_{n-1} \lambda^{n-1} + (-1)^{n} \lambda^{n}.# При этом #\alpha_{0} = det A \neq 0,# т.к. матрица #A# невырождена. По теореме Гамильтона-Кэли #\alpha_{0} + \alpha_{1} A + \cdots + \alpha_{n-1}A^{n-1} + (-1)^{n}A^{n} = 0,# откуда #A^{-1} = p(A),# где #p( \lambda) = - \frac{1}{\alpha_{0}} (\alpha_{1} + \cdots + \alpha_{n-2} \lambda^{n-1} + (-1)^{n} \lambda^{n-1}).#
