Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 782
2014-02-27 
Пусть #T# - невырожденная положительно определенная симметричная матрица; #(p, x)# - скалярное произведение векторов #p, x; A = \{ x \in \mathbf{R}^{n} | (x, Tx) \leq 1 \}.# Найти #max_{x \in A} (p,x).#
Решение:
Максимальное значение #c# функция #(p,x)# будет принимать при условии, что плоскость #(p,x) = c# касается множества #A# в точке #x_{p} \in A# и любой сдвиг ее по нормали #p# дает плоскость, не имеющую с #A# общих точек. Поэтому #\lambda p = \nabla (x,Tx) |_{x= x_{p}} = 2Tx_{p}# для некоторого #\lambda > 0,# откуда #x_{p} = \frac{ \lambda }{2} T^{-1}p, (x_{p}, Tx_{p}) = \frac{\lambda^{2}}{4} (p, T^{-1}p) = 1, \lambda = \frac{2}{ \sqrt{ {\langle} p, T^{-1}p {\rangle} }}, x_{p} = \frac{T^{-1}p}{ \sqrt{ {\langle} p, T^{-1}p {\rangle} }},# #max_{x \in A} {\langle} p,x { angle} = \sqrt{ {\langle} p, T^{-1}p {\rangle} }.# Задачу также можно решать с помощью метода множителей Лагранжа.
Пусть #T# - невырожденная положительно определенная симметричная матрица; #(p, x)# - скалярное произведение векторов #p, x; A = \{ x \in \mathbf{R}^{n} | (x, Tx) \leq 1 \}.# Найти #max_{x \in A} (p,x).#
Решение:
Максимальное значение #c# функция #(p,x)# будет принимать при условии, что плоскость #(p,x) = c# касается множества #A# в точке #x_{p} \in A# и любой сдвиг ее по нормали #p# дает плоскость, не имеющую с #A# общих точек. Поэтому #\lambda p = \nabla (x,Tx) |_{x= x_{p}} = 2Tx_{p}# для некоторого #\lambda > 0,# откуда #x_{p} = \frac{ \lambda }{2} T^{-1}p, (x_{p}, Tx_{p}) = \frac{\lambda^{2}}{4} (p, T^{-1}p) = 1, \lambda = \frac{2}{ \sqrt{ {\langle} p, T^{-1}p {\rangle} }}, x_{p} = \frac{T^{-1}p}{ \sqrt{ {\langle} p, T^{-1}p {\rangle} }},# #max_{x \in A} {\langle} p,x { angle} = \sqrt{ {\langle} p, T^{-1}p {\rangle} }.# Задачу также можно решать с помощью метода множителей Лагранжа.
