ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-02-27   
Пусть #A# - несчетное множество действительных чисел. Доказать, что существует строго возрастающая последовательность #\{ a_{n} \},# все члены которой принадлежат #A.#


Решение:


Слово "счетно" в этом решении будет заменой выражения "не более чем счетно". Мы будем строить последовательность индуктивно. Достаточно доказать, что существует такой элемент #a_{1} \in A,# что #A^{\prime} = A \bigcap (a_{1}; + \infty)# несчетно. Тогда можно будет, применив те же рассуждения к множеству #A^{\prime},# выбрать #a_{2}# и несчетное множество #A^{\prime \prime} = A \bigcap (a_{2}; + \infty)# и т.д. Если каждое из множеств #A_{i} = A \bigcap [-i;i]# счетно, то счетно и #A# как объединение счетного числа счетных множеств. Это невозможно; значит, при некотором #i# множество #A_{i}# несчетно, и можно заменить #A# на #A \bigcap [-i; i].# Пусть #a = inf A.# Если каждое из множеств #A \bigcap [1+1/n; + \infty)# счетно, то опять же #A# будет счетно, т.к. #A = (A \bigcap \{ a \} igcup \bigcup_{n} A \bigcap [a+ 1/n; + \infty).# Пусть #A \bigcap [a+ 1/n; + \infty)# несчетно. Тогда можно выбрать #a_{1} \in A \bigcap [a, a+# #1/n_{0})# - оно существует по определению #a.# При этом множество #A^{\prime} =# #A \bigcap (a_{1}; + \infty).# будет несчетно, так как оно содержит несчетное множество #A \bigcap [ a + 1/n_{0}; + \infty ).#