Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 780
2014-02-27 
Пусть у функции #f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}# в каждой точке #x_{0}# существует конечный предел #g(x_{0}) = lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x).# Верно ли, что функция #g(x)# непрерывна?
Решение:
Возьмём некоторое #x_{0}.# По определению предела #\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x \in (x_{0} - \delta, x_{0}) \bigcup (x_{0}, x_{0} + \delta) |g(x_{0} - f(x))| < \varepsilon.# Зафиксируем #\varepsilon,# возьмём #x_{1} \in (x_{0} - \delta, x_{0}) \bigcup (x_{0}, x_{0} + \delta)# и перейдём в неравенстве к пределу #x \rightarrow x_{1},# получим #\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x_{1} \in (x_{0} - \delta, x_{0}) \bigcup (x_{0}, x_{0} + \delta) |g(x_{0} - g(x_{}))| < \varepsilon,# что равносильно непрерывности #g(x)# в #x_{0}# по определению.
Пусть у функции #f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}# в каждой точке #x_{0}# существует конечный предел #g(x_{0}) = lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x).# Верно ли, что функция #g(x)# непрерывна?
Решение:
Возьмём некоторое #x_{0}.# По определению предела #\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x \in (x_{0} - \delta, x_{0}) \bigcup (x_{0}, x_{0} + \delta) |g(x_{0} - f(x))| < \varepsilon.# Зафиксируем #\varepsilon,# возьмём #x_{1} \in (x_{0} - \delta, x_{0}) \bigcup (x_{0}, x_{0} + \delta)# и перейдём в неравенстве к пределу #x \rightarrow x_{1},# получим #\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x_{1} \in (x_{0} - \delta, x_{0}) \bigcup (x_{0}, x_{0} + \delta) |g(x_{0} - g(x_{}))| < \varepsilon,# что равносильно непрерывности #g(x)# в #x_{0}# по определению.
