Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 779
2014-02-26 
Пусть плоская гладкая кривая #\Gamma# ограничивает выпуклую область #\Omega# площадью #10 \pi# Отрезок длины 1 с концами на кривой #\Gamma# протаскивается по кривой #\Gamma# так, что его концы проходят все точки кривой #\Gamma,# а середина описывает гладкую кривую #\gamma,# которая ограничивает выпуклую область #G \subset \Omega# Найти площадь #G.#
Решение:
Пусть координаты концов протаскиваемого отрезка #AB# и его середины #C# есть #A(x_{1}, y_{1}) \in \Gamma, B(x_{2}, y_{2}) \in \Gamma, C \left ( \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2} \right ) \in \gamma \subset \Omega.# Без ограничения общности можно считать, что при протаскивании отрезка точки #A# и #B# движутся по кривой #\Gamma# против часовой стрелки. По следствию из формулы Грина получаем, что #\mu \Gamma = 10 \pi = \frac{1}{2} \int_{\Gamma} x_{1} dy_{1} + x_{2} dy_{2} = \frac{1}{2} \int_{\Gamma} x_{1} dy_{2} + x_{2} dy_{1} + \frac{1}{2} \int_{\Gamma} (x_{1} - x_{2}) d(y_{1} - y_{2}).# #\mu \Gamma = \frac{1}{4} \int_{\Gamma} (x_{1} + x_{2})d(y_{1} + y_{2}) = \frac{1}{4} \int_{\Gamma} x_{1}dy_{1} + x_{2})dy_{1} + \frac{1}{4} \int_{\Gamma} x_{1}dy_{2} +x_{2}dy_{1} = 5 \pi + \frac{1}{4} \int_{\Gamma} x_{1}dy_{2} + x_{2} dy_{1}, # отсюда #\frac{1}{2} \int_{\Gamma} x_{1}dy_{2} + x_{2}dy_{1} = 2 \mu G - 10 \pi. # В итоге получаем, что #10 \pi = 2 \mu G - 10 \pi + \frac{1}{2} \int_{\Gamma} (x_{1} - x_{2})d(y_{1} - y_{2}).# Поскольку при протаскивании отрезка #AB# по кривой #\Gamma# вектор #(x_{1} -# #x_{2}, y_{1} - y_{2})# длины 1 совершает поворот на #2 \pi# против часовой стрелки, то #\int_{ \Gamma} (x_{1} - x_{2}) d(y_{1} - y_{2}) = \pi,# откуда #\mu G = \frac{39}{4} \pi.#
Пусть плоская гладкая кривая #\Gamma# ограничивает выпуклую область #\Omega# площадью #10 \pi# Отрезок длины 1 с концами на кривой #\Gamma# протаскивается по кривой #\Gamma# так, что его концы проходят все точки кривой #\Gamma,# а середина описывает гладкую кривую #\gamma,# которая ограничивает выпуклую область #G \subset \Omega# Найти площадь #G.#
Решение:
Пусть координаты концов протаскиваемого отрезка #AB# и его середины #C# есть #A(x_{1}, y_{1}) \in \Gamma, B(x_{2}, y_{2}) \in \Gamma, C \left ( \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2} \right ) \in \gamma \subset \Omega.# Без ограничения общности можно считать, что при протаскивании отрезка точки #A# и #B# движутся по кривой #\Gamma# против часовой стрелки. По следствию из формулы Грина получаем, что #\mu \Gamma = 10 \pi = \frac{1}{2} \int_{\Gamma} x_{1} dy_{1} + x_{2} dy_{2} = \frac{1}{2} \int_{\Gamma} x_{1} dy_{2} + x_{2} dy_{1} + \frac{1}{2} \int_{\Gamma} (x_{1} - x_{2}) d(y_{1} - y_{2}).# #\mu \Gamma = \frac{1}{4} \int_{\Gamma} (x_{1} + x_{2})d(y_{1} + y_{2}) = \frac{1}{4} \int_{\Gamma} x_{1}dy_{1} + x_{2})dy_{1} + \frac{1}{4} \int_{\Gamma} x_{1}dy_{2} +x_{2}dy_{1} = 5 \pi + \frac{1}{4} \int_{\Gamma} x_{1}dy_{2} + x_{2} dy_{1}, # отсюда #\frac{1}{2} \int_{\Gamma} x_{1}dy_{2} + x_{2}dy_{1} = 2 \mu G - 10 \pi. # В итоге получаем, что #10 \pi = 2 \mu G - 10 \pi + \frac{1}{2} \int_{\Gamma} (x_{1} - x_{2})d(y_{1} - y_{2}).# Поскольку при протаскивании отрезка #AB# по кривой #\Gamma# вектор #(x_{1} -# #x_{2}, y_{1} - y_{2})# длины 1 совершает поворот на #2 \pi# против часовой стрелки, то #\int_{ \Gamma} (x_{1} - x_{2}) d(y_{1} - y_{2}) = \pi,# откуда #\mu G = \frac{39}{4} \pi.#
