Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 778
2014-02-26 
Существует ли такой набор #I# интервалов, лежащих в интервале #(0, 1),# что каждая рациональная точка интервала #(0, 1)# принадлежит конечному числу интервалов из #I,# а каждая иррациональная точка этого отрезка - бесконечному числу интервалов из #I?#
Решение:
Существует. Пусть #I_{n} = \left \{ \left ( \frac{a}{n!}, \frac{a+1}{n!} \right ) | a = 0,1, \cdots, n1 - 1 \right \}, I = \bigcup_{n=1}^{\infty}I_{n}.# Ясно, что множества #I_{n}# попарно не пересекаются. Далее, каждая иррациональная точка принадлежит ровно одному интервалу из каждого множества #I_{n},# то есть бесконечному множеству интервалов из #I.# Каждая же рациональная точка (скажем, со знаменателем #k#) не принадлежит интервалам из множеств #I_{n}# при #n \geq k.#
Существует ли такой набор #I# интервалов, лежащих в интервале #(0, 1),# что каждая рациональная точка интервала #(0, 1)# принадлежит конечному числу интервалов из #I,# а каждая иррациональная точка этого отрезка - бесконечному числу интервалов из #I?#
Решение:
Существует. Пусть #I_{n} = \left \{ \left ( \frac{a}{n!}, \frac{a+1}{n!} \right ) | a = 0,1, \cdots, n1 - 1 \right \}, I = \bigcup_{n=1}^{\infty}I_{n}.# Ясно, что множества #I_{n}# попарно не пересекаются. Далее, каждая иррациональная точка принадлежит ровно одному интервалу из каждого множества #I_{n},# то есть бесконечному множеству интервалов из #I.# Каждая же рациональная точка (скажем, со знаменателем #k#) не принадлежит интервалам из множеств #I_{n}# при #n \geq k.#
