ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-02-26   
Дано дифференциальное уравнение с запаздыванием #x^{\prime} = # #x(t-1).# Верно ли, что для каждого решения #x(t)# этого уравнения выполнено 1) #lim_{t \rightarrow + \infty} \frac{x(t)}{e^{t}} = 0?# о) #lim_{t \rightarrow + \infty} \frac{x^{2}(t)}{e^{t}} = 0?#


Решение:


1) Верно. Пусть #c_{n} = sup_{t \in [n-1,n]} |x(t)|.# Тогда #|x^{\prime}(t)| \leq c_{n}# при #t \in [n, n+1],# то есть #|x(t)| \leq c_{n} + c_{n}(t-n)# при этих же #t.# Значит, #c_{n+1} \leq 2c_{n}# откуда и следует #|x(t)| \leq 2^{n+1}c_{1}, t \in [n,n+1].# 2) Неверно. Будем искать решение в виде #x(t) = e^{\lambda t}.# Условие #x^{\prime}(t) = # #x(t-1)# дает #\lambda = e^{-\lambda}# Пусть #\lambda# вещественное число. Тогда существует вещественное решение #\lambda_{0} \in (0, 1)# уравнения #\lambda = e^{-\lambda},# причем при #\lambda \in (0, \lambda_{0})# имеем #\lambda < e^{-\lambda},# а при #\lambda \in (\lambda_{0}, 1)# имеем #\lambda > e^{-\lambda}# Поскольку #\frac{1}{2} < e^{-\frac{1}{2}},# то #\lambda_{0} > \frac{1}{2}# и #lim_{t \rightarrow + \infty} \frac{e^{2 \lambda_{0} t}}{e^{t}} =# #+ \infty.#