Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 776
2014-02-26 
Докажите, что ненулевая комплексная матрица #A# размера #2 \times 2# является квадратом #(A = B^{2})# тогда и только тогда, когда #A^{2} \neq 0.#
Решение:
Если #A \neq 0, A^{2} = 0# и #A = B^{2},# то #B^{4} = 0.# Следовательно, все собственный значения #B# нулевые и по теореме Гамильтона-Кэли #A = # #B^{2} = 0# - противоречие. Пусть теперь #A^{2} \neq 0.# Тогда если #A# можно привести к диагональному виду #SAS^{-1} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix},# ТО можнно взять #SBS^{-1} = \begin{pmatrix} \sqrt{a} & 0 \\ 0 & \sqrt{b} \end{pmatrix}.# Иначе #A# можно привести к виду жордановой клетки с ненулевыми (так как #A^{2} \neq 0# ) собственными значениями #SAS^{-1} = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix},# и можно взять #SBS^{-1} = \begin{pmatrix} \sqrt{a} &\frac{1}{2 \sqrt{a}} \\ 0 & \sqrt{a} \end{pmatrix}.# Здесь #\sqrt{x}# обозначает некоторый корень из комплексного числа.
Докажите, что ненулевая комплексная матрица #A# размера #2 \times 2# является квадратом #(A = B^{2})# тогда и только тогда, когда #A^{2} \neq 0.#
Решение:
Если #A \neq 0, A^{2} = 0# и #A = B^{2},# то #B^{4} = 0.# Следовательно, все собственный значения #B# нулевые и по теореме Гамильтона-Кэли #A = # #B^{2} = 0# - противоречие. Пусть теперь #A^{2} \neq 0.# Тогда если #A# можно привести к диагональному виду #SAS^{-1} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix},# ТО можнно взять #SBS^{-1} = \begin{pmatrix} \sqrt{a} & 0 \\ 0 & \sqrt{b} \end{pmatrix}.# Иначе #A# можно привести к виду жордановой клетки с ненулевыми (так как #A^{2} \neq 0# ) собственными значениями #SAS^{-1} = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix},# и можно взять #SBS^{-1} = \begin{pmatrix} \sqrt{a} &\frac{1}{2 \sqrt{a}} \\ 0 & \sqrt{a} \end{pmatrix}.# Здесь #\sqrt{x}# обозначает некоторый корень из комплексного числа.
