ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-02-26   
1) Пусть #f: (0,1]^{2} \rightarrow (0, + \infty)# - функция, непрерывная по совокупности переменных. Верно ли, что обязательно найдется непрерывная функция #g : (0,1] \rightarrow (0, + \infty)# такая, что #g(x) = o(f(x,y)), x \rightarrow + 0# при любом #y \in (0,1]?# 2) Пусть #f: (0,1]^{2} \rightarrow (0, + \infty)# - функция, непрерывная по #x# при любом фиксированном #y \in (0,1].# Верно ли, что обязательно найдется непрерывная функция #g: (0,1] \rightarrow (0, + \infty)# такая, что #g(x) = o(f(x,y)),# #x \rightarrow + 0# при любом #y \in (0,1]?#


Решение:


1) Можно положить #g(x) = x \cdot min_{y \in [x,1]} f(x,y)# (этот минимум существует и положителен из непрерывности и положительности #f(x,y)).# Тогда при любом фиксированном #y \in (0,1]# неравенство #g(x) \leq# #xf(x,y)# верно для любого #0 < x \leq y,# откуда #g(x) = o(f(x,y)), x \rightarrow + 0.# 2) Множество #M# всех последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуум. Зафиксируем взаимно однозначное соответствие между #M# и #(0,1];# пусть #\{ a_{n}^{(y)} \}_{n=1}^{\infty}# - последовательность, соответствующая числу #y \in (0,1].# Тогда существует непрерывная функция #h_{y}(x) ; (0,1] \rightarrow# #(0, \infty)# такая, что #h_{y}(1/n) = 1/a_{n}^{(y)}# (можно, например, сделать #h_{y}(x)# линейной на любом отрезке #[1/(n+1),1/n])# . Положим #f(x,y) = h_{y}(x).# Рассмотрим произвольную функцию #g(x) : (0,1] \rightarrow (0, + \infty);# пусть #s_{n} = [1/g(1/n)]# (наименьшее натуральное число #\geq 1/g(1/n)).# Тогда найдется #y \in ( 0, 1],# при котором #f(1/n, y) = h_{y}(1/n) = 1/s_{n} \leq g(1/n).# Это означает, что #g(1/n) \neq o(f(1/n,y)), n \rightarrow \infty,# и уж тем более #g(x) \neq# #o(f(x,y)), x \rightarrow + 0.#