Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 7736
2022-03-12 
Круг вписан в круговой сектор с углом $2\alpha$. Найдите отношение площади сектора к площади круга.
Решение:
Пусть $AOB$ - круговой сектор круга радиуса $R$ с центром $O$ и площадью $S_{1}$, $Q$ - центр круга радиуса $r$ и с площадью $S_{2}$, вписанного в сектор, $C$ и $D$ - точки касания этого круга с исходной окружностью и её радиусом $OA$ соответственно.
Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла, поэтому $\angle DOQ=\frac{1}{2}\angle AOB=\alpha$. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки $O$, $Q$ и $C$ лежат на одной прямой, значит, $OQ=OC-QC=R-r$.
Из прямоугольного треугольника $DOQ$ находим, что $QD=OQ\sin\angle DOQ$, или $r=R-r\sin\alpha$, откуда $r=\frac{R\sin\alpha}{1+\sin\alpha}$. Следовательно,
$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\frac{1}{2}R^{2}\cdot2\alpha}{\pi r^{2}}=\frac{R^{2}\alpha}{\pi\left(\frac{R\sin\alpha}{1+\sin\alpha}\right)^{2}}=\frac{\alpha(1+\sin\alpha)^{2}}{\pi\sin^{2}\alpha}.$
Круг вписан в круговой сектор с углом $2\alpha$. Найдите отношение площади сектора к площади круга.
Решение:
Пусть $AOB$ - круговой сектор круга радиуса $R$ с центром $O$ и площадью $S_{1}$, $Q$ - центр круга радиуса $r$ и с площадью $S_{2}$, вписанного в сектор, $C$ и $D$ - точки касания этого круга с исходной окружностью и её радиусом $OA$ соответственно.
Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла, поэтому $\angle DOQ=\frac{1}{2}\angle AOB=\alpha$. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки $O$, $Q$ и $C$ лежат на одной прямой, значит, $OQ=OC-QC=R-r$.
Из прямоугольного треугольника $DOQ$ находим, что $QD=OQ\sin\angle DOQ$, или $r=R-r\sin\alpha$, откуда $r=\frac{R\sin\alpha}{1+\sin\alpha}$. Следовательно,
$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\frac{1}{2}R^{2}\cdot2\alpha}{\pi r^{2}}=\frac{R^{2}\alpha}{\pi\left(\frac{R\sin\alpha}{1+\sin\alpha}\right)^{2}}=\frac{\alpha(1+\sin\alpha)^{2}}{\pi\sin^{2}\alpha}.$
