Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 772
2014-02-26 
Пусть #a, b, c, d# - векторы в #\mathbf{R}^{n}, (\cdot, \cdot)# - стандартное скалярное произведение. Доказать, что #((a,c) + (b,d))^{2} + ((a,d) - (b,c))^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) \cdot (c^{2} + d^{2}).#
Решение:
Ð ассмотрим вектора #a + ib, c + id \in \mathbf{C}^{n}.# Тогда по неравенству Шварца #|(a+ib, c+id)|^{2} \leq |a + ib|^{2} \cdot |c + id|^{2},# раскрывая скобки, получаем #|(a,c) + (b,d) + i(b,c) - i(a,d)|^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) \cdot (c^{2} + d^{2}).# По определению левая часть равна #((a,c) + (b,d))^{2} + ((a,d) - (b,c))^{2}.#
Пусть #a, b, c, d# - векторы в #\mathbf{R}^{n}, (\cdot, \cdot)# - стандартное скалярное произведение. Доказать, что #((a,c) + (b,d))^{2} + ((a,d) - (b,c))^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) \cdot (c^{2} + d^{2}).#
Решение:
Ð ассмотрим вектора #a + ib, c + id \in \mathbf{C}^{n}.# Тогда по неравенству Шварца #|(a+ib, c+id)|^{2} \leq |a + ib|^{2} \cdot |c + id|^{2},# раскрывая скобки, получаем #|(a,c) + (b,d) + i(b,c) - i(a,d)|^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) \cdot (c^{2} + d^{2}).# По определению левая часть равна #((a,c) + (b,d))^{2} + ((a,d) - (b,c))^{2}.#
