Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 770
2014-02-26 
Пусть #A,B# - два непустых подмножества #\mathbf{R},# причём #A \bigcap# #\overline{B} =\emptyset \text{и} \: B \bigcap \overline{A} = \emptyset# (черта означает замыкание). Доказать, что найдутся два непересекающихся открытых множества ©#U,V \subset \mathbf{R},#такие что #U \supseteq A,# #V \supseteq B.#
Решение:
Будем рассматривать только симметричные окрестности точек. По условию у каждой точки #a \in A# есть окрестность #U(a),# которая не пересекается с #B.# У каждой точки #b \in B# есть окрестность #V(b),# которая не пересекается с #A.# Из неравенства треугольника легко видеть, что если мы возьмём вдвое меньшие окрестности #U^{\prime}(a)# и #V^{\prime}(b),# то они не будут пересекаться между собой при любых #a \in A, b \in B.# Тогда множества #U = \bigcup_{a \in A} U^{\prime}(a), V = \bigcup_{b \in B} V^{\prime}(b)# обладают требуемым свойством.
Пусть #A,B# - два непустых подмножества #\mathbf{R},# причём #A \bigcap# #\overline{B} =\emptyset \text{и} \: B \bigcap \overline{A} = \emptyset# (черта означает замыкание). Доказать, что найдутся два непересекающихся открытых множества ©#U,V \subset \mathbf{R},#такие что #U \supseteq A,# #V \supseteq B.#
Решение:
Будем рассматривать только симметричные окрестности точек. По условию у каждой точки #a \in A# есть окрестность #U(a),# которая не пересекается с #B.# У каждой точки #b \in B# есть окрестность #V(b),# которая не пересекается с #A.# Из неравенства треугольника легко видеть, что если мы возьмём вдвое меньшие окрестности #U^{\prime}(a)# и #V^{\prime}(b),# то они не будут пересекаться между собой при любых #a \in A, b \in B.# Тогда множества #U = \bigcup_{a \in A} U^{\prime}(a), V = \bigcup_{b \in B} V^{\prime}(b)# обладают требуемым свойством.
