Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 77
2014-06-07 
Доказать, что если число $p$ простое, то число $C^{p}_{2p} – 2$ делится на $p^{2}$.
Решение:
Рассмотрим простое число $p > 2$ (при $p=2$ утверждение задачи верно, так как число $ C^{2}_{4} - 2 = 4$ делится на $2^{2} = 4$). Прежде всего, имеем равенства
$ C^{p}_{2p}= \frac{(2p)!}{(p!)^{2}}= \frac{2p(2p-1)!}{p(p-1)!p!} = 2 C^{p-1}_{2p-1}$.
Из соотношения
$(2p-k)(p+k) \equiv k(p-k)(\mod p^{2})$,
выполненного при каждом значении $k=1, 2, \cdots ,(p-1)/2$ (число $p-1$ четное), получаем, что произведение
$(2p-1)(2p-2) \cdots (p+1) =$
$=((2p-1)(p+1)) ((2p-2)(p+2)) \cdots ((2p - \frac{p-1}{2})(p+ \frac{p-1}{2})) \equiv$
$\equiv (1 \cdot (p-1))(2 \cdot (p-2)) \cdots (\frac{p-1}{2} \frac{p+1}{2}) (\mod p^{2})$
сравнимо с числом $(p-1)!$ по модулю $p^{2}$. Следовательно, для некоторого числа $m \in \mathbf{Z}$ справедливы равенства
$C^{p-1}_{3p-1}= \frac{(2p-1)(2p-2) \cdots (p+1)}{(p-1)!}= \frac{mp^{2}+(p-1)!}{(p-1)!} = \frac{mp^{2}}{(p-1)!}+1$.
Поскольку число $mp^{2}/(p-1)! = C^{p-1}_{2p-1}-1$ является целым и $(p^{2},(p-1)!)=1$, то $m=l/(p-1)!$, где $l \in \mathbf{Z}$. Поэтому имеем соотношения
$ C^{p-1}_{2p-1}= \frac{l(p-1)!p^{2}}{(p-1)!} +1 = lp^{2}+1 \equiv 1 (\mod p^{2})$,
$ C^{p}_{2p}=2 C^{p-1}_{2p-1} \equiv 2 (\mod p^{2})$
откуда вытекает справедливость утверждения задачи.
Доказать, что если число $p$ простое, то число $C^{p}_{2p} – 2$ делится на $p^{2}$.
Решение:
Рассмотрим простое число $p > 2$ (при $p=2$ утверждение задачи верно, так как число $ C^{2}_{4} - 2 = 4$ делится на $2^{2} = 4$). Прежде всего, имеем равенства
$ C^{p}_{2p}= \frac{(2p)!}{(p!)^{2}}= \frac{2p(2p-1)!}{p(p-1)!p!} = 2 C^{p-1}_{2p-1}$.
Из соотношения
$(2p-k)(p+k) \equiv k(p-k)(\mod p^{2})$,
выполненного при каждом значении $k=1, 2, \cdots ,(p-1)/2$ (число $p-1$ четное), получаем, что произведение
$(2p-1)(2p-2) \cdots (p+1) =$
$=((2p-1)(p+1)) ((2p-2)(p+2)) \cdots ((2p - \frac{p-1}{2})(p+ \frac{p-1}{2})) \equiv$
$\equiv (1 \cdot (p-1))(2 \cdot (p-2)) \cdots (\frac{p-1}{2} \frac{p+1}{2}) (\mod p^{2})$
сравнимо с числом $(p-1)!$ по модулю $p^{2}$. Следовательно, для некоторого числа $m \in \mathbf{Z}$ справедливы равенства
$C^{p-1}_{3p-1}= \frac{(2p-1)(2p-2) \cdots (p+1)}{(p-1)!}= \frac{mp^{2}+(p-1)!}{(p-1)!} = \frac{mp^{2}}{(p-1)!}+1$.
Поскольку число $mp^{2}/(p-1)! = C^{p-1}_{2p-1}-1$ является целым и $(p^{2},(p-1)!)=1$, то $m=l/(p-1)!$, где $l \in \mathbf{Z}$. Поэтому имеем соотношения
$ C^{p-1}_{2p-1}= \frac{l(p-1)!p^{2}}{(p-1)!} +1 = lp^{2}+1 \equiv 1 (\mod p^{2})$,
$ C^{p}_{2p}=2 C^{p-1}_{2p-1} \equiv 2 (\mod p^{2})$
откуда вытекает справедливость утверждения задачи.
