ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-02-26   
Пусть #B \subset \mathbf{R}^{n}# - центрально симметричное выпуклое компактное тело с центром нуле. Для множества #A \subset \mathbf{R}^{n}# определим множество #f(A) = \bigcap_{a \in A} (a + B)# (здесь #a + B = \{ a +x | x \in B \}# - сдвиг множества #B#). Доказать, что непустое множество #A# есть пересечение сдвигов множества #B# тогда и только тогда, когда #A = f(f(A)).#


Решение:


Заметим, что множество #S = \bigcap_{x \in B} (z + B)# есть #\{ 0 \}.# Действительно, #0 = x + (-x) \in x + B# при любом #x \in B,# поэтому #0 \in S.# С другой стороны, пусть #0 \neq y \in S;# тогда из компактности #B# следует, что существует #\lambda = max \{ \mu | \mu y \in B \} \geq 1.# Тогда из #y \in S \subset (- \lambda y) + B,# то есть #(1 + \lambda)y \in B.# Противоречие с выбором #\lambda.# Значит, #S = \{ 0 \}.# Отсюда следует, что #\bigcap_{z \in x + B}(z + B) = \{ x \}# для любого #x.# Если #A = f(f(A)),# то очевидно #A# есть пересечение сдвигов #B.# Пусть #A# есть такое множество, что #f(A) \neq \emptyset.# Покажем, что #A \subset f(f(A)).# Пусть #a \in A.# Тогда #f(A) = \bigcap_{z \in A} (z + B) \subset# #a + B.# Отсюда #f(f(A)) = \bigcap_{z \in f(A)} (z + B) \supset \bigcap_{z \in a +B} (z + B) = \{ a \}.# Итак, #a \subset f(f(A)).# Пусть множество #A# есть непустое пересечение сдвигов #B,# т.е. для некоторого множества #X# выполнено #A = f(X).# По доказанному #f(A) =# #f(f(X)) \supset X,# откуда #f(f(A)) \subset f(X) = A.#