Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 765
2014-02-26 
Доказать, что симметричная матрица #A# неотрицательно определена тогда и только тогда, когда для любой симметричной неотрицательно определÑ‘нной матрицы #B# выполнено неравенство #trAB \geq 0.#
Решение:
Заметим, что если #X# - столбец, то матрица #XX^{T}# неотрицательно определена и симметрична. Также заметим, что всякая неотрицательно определÑ‘нная симметричная #B# представляется в виде (теорема о приведении к диагональному виду) #B = X_{1}X_{1}^{T} + \cdots + X_{n}X_{n}^{T}.# Пусть #A# неотрицательно определена. Тогда #B = X_{1}X_{1}^{T} + \cdots + X_{n}X_{n}^{T}.# и #tr AB = \sum_{i = 1}^{n} tr AX_{i}X_{i}^{T} = \sum_{i = 1}^{n} tr X_{i}^{T}AX_{i} \geq 0# по определению положительной определенности. В обратную сторону: для любого столбца #X# положим #B = XX^{T}# и получим, что #tr X^{T}AX = tr AXX^{T} \geq 0.#
Доказать, что симметричная матрица #A# неотрицательно определена тогда и только тогда, когда для любой симметричной неотрицательно определÑ‘нной матрицы #B# выполнено неравенство #trAB \geq 0.#
Решение:
Заметим, что если #X# - столбец, то матрица #XX^{T}# неотрицательно определена и симметрична. Также заметим, что всякая неотрицательно определÑ‘нная симметричная #B# представляется в виде (теорема о приведении к диагональному виду) #B = X_{1}X_{1}^{T} + \cdots + X_{n}X_{n}^{T}.# Пусть #A# неотрицательно определена. Тогда #B = X_{1}X_{1}^{T} + \cdots + X_{n}X_{n}^{T}.# и #tr AB = \sum_{i = 1}^{n} tr AX_{i}X_{i}^{T} = \sum_{i = 1}^{n} tr X_{i}^{T}AX_{i} \geq 0# по определению положительной определенности. В обратную сторону: для любого столбца #X# положим #B = XX^{T}# и получим, что #tr X^{T}AX = tr AXX^{T} \geq 0.#
