Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 764
2014-02-26 
Найти бесконечно дифференцируемую функцию #f : (0, + \infty) \rightarrow (0, + \infty),# для которой при любом #x_{0} > 0# рекуррентная последовательность #x_{n+1} = # #f(x_{n})# удовлетворяет асимптотическому равенству #x_{n} \sim \frac{1}{ln x}, n \rightarrow \infty.#
Решение:
Пусть для начала #x_{n} = 1/ ln n.# Построим такую функцию, что #f(x_{n-1}) = x_{n}.# Для этого рассмотрим #\phi(t) = 1 / ln t# и найдем решение функционального уравнения #f( \phi (t - 1)) = \phi (t).# Это есть функция #f(t)# #1 / ln (1 + e^{1/t}).# Покажем, что #f# - то, что надо. Для последовательности #x_{n+1} = 1 / ln (1 + e^{1/x_{n}})# получаем #e^{1/x_{n}}) = 1 + e^{1/x_{n}} = \cdots = n + 1 + e^{1/x_{0}},# откуда следует требуемое условие.
Найти бесконечно дифференцируемую функцию #f : (0, + \infty) \rightarrow (0, + \infty),# для которой при любом #x_{0} > 0# рекуррентная последовательность #x_{n+1} = # #f(x_{n})# удовлетворяет асимптотическому равенству #x_{n} \sim \frac{1}{ln x}, n \rightarrow \infty.#
Решение:
Пусть для начала #x_{n} = 1/ ln n.# Построим такую функцию, что #f(x_{n-1}) = x_{n}.# Для этого рассмотрим #\phi(t) = 1 / ln t# и найдем решение функционального уравнения #f( \phi (t - 1)) = \phi (t).# Это есть функция #f(t)# #1 / ln (1 + e^{1/t}).# Покажем, что #f# - то, что надо. Для последовательности #x_{n+1} = 1 / ln (1 + e^{1/x_{n}})# получаем #e^{1/x_{n}}) = 1 + e^{1/x_{n}} = \cdots = n + 1 + e^{1/x_{0}},# откуда следует требуемое условие.
