Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 763
2014-02-26 
а) Замкнутое ограниченное множество #A \subset \mathbf{R}^{2}# обладает свойством: для любой точки #x \in \mathbf{R}^{2}# существует ровно одна точка #a(x) \in A# такая, что #\| x -a(x) \| = sup_{a \in A} \| x -a \|.# Доказать, что множество #A# одноточечно. б) Докажите то же утверждение для произвольного ограниченного множества #A \subset \mathbf{R}^{2}.#
Решение:
Ð ассмотрим функцию #f(x) = sup_{a \in A} \| x -a \|.# Поскольку это непрерывная функция на #\mathbf{R}^{n}# и #lim_{\| x \| \rightarrow + \infty} f(x) = + \infty,# то минимум #f# достигается в некоторой точке #x_{0} \in \mathbf{R}^{n}.# Покажем, что #A = \{ x_{0} \}.# Допустим противное. Тогда #f(x_{0}) > 0# и шар #B_{f(x_{0})}(x_{0})# является шаром наименьшего радиуса (равного #f(x_{0})# ), который содержит #A# среди всех шаров, содержащих #A.# При этом в силу условия задачи #\partial B_{f(x_{0})}(x_{0}) \bigcap A = \{ a_{0} \}# Определим полусферу. #S = \partial B_{f(x_{0})}(x_{0}) \bigcap \{ x \in \mathbf{R}^{n} | (a_{0} -x_{0}, x - x_{0}) \leq 0 \}# Так как #S \bigcap A = \emptyset,# то по лемме Гейне-Бореля существует ненулевой сдвиг #S_{t} = S + t(a_{0} - x_{0}), t>0,# вдоль вектора #a_{0} - x_{0}# сохраняющий условие #S_{\tau} \bigcap A = \emptyset# для всех #\tau \in [0, t].# Отсюда следует, что #A \subset B_{f(x_{0})}(x_{0}) \bigcap B_{f(x_{0})}(x_{0} + t(a_{0} - x_{0})).# Но по теореме Пифагора получаем, что тогда #A \subset x_{0} + \frac{t}{2}(a_{0} - x_{0}) + \sqrt{f^{2}(x_{0}) - \frac{t^{2} \| a_{0} - x_{0} \|^{2} }{4}} B_{1}(0),# что противоречит минимальности радиуса #f(x_{0}).# б) Докажем, что если множество #A# удовлетворяет нашему свойству, то и его замыкание #B = \overline{A}# также ему удовлетворяет. Заметим, что #max_{b \in B} \| x - b \| =# #max_{a \in A} \| x - a \| =# для любого #x# (максимумы по условию существуют!). Предположим противное. Тогда для некоторой точки х существуют две точки #b_{1}, b_{2} \in B# такие, что #\| x - b_{i} \| = max_{b \in B} \| x - b \| =:s.# Тогда одна из них - скажем, ©#b_{1}#- лежит в #B \backslash A.# Ð ассмотрим точку #x_{1} = x + (x - b_{1}).# Тогда #\| x_{1} - b_{1} \| = \| 2 (x - b_{1}) \| = 2s,# а для любой другой точки #b \in B# имеем #\| x_{1} - b_{1} \| \leq# #\| x_{1} - x \| + \| x - b \| = 2s.# При этом равенство может достигаться тогда и только тогда, когда #x_{1},b# и #x# лежат на одной прямой ( #x# между #b# и #x_{1}#), и #\| x - b \| = s;# это выполняется только при #b = b_{1}.# Таким образом, #\| x_{1} - b_{1} \| > \| x_{1} - b \| # для любой точки #b \in B \backslash \{ b_{1} \} \supset A;# в частности, #\| x_{1} - b_{1} \| > max_{x \in A} \| x_{1} - a \| .# Это невозможно, так как #max_{b \in B} \| x_{1} - b \| = max_{a \in A} \| x_{1} - a \| # Итак, множество #B# удовлетворяет нашему свойству и по пункту а) одноточечно. Значит, и #A# одноточечно.
а) Замкнутое ограниченное множество #A \subset \mathbf{R}^{2}# обладает свойством: для любой точки #x \in \mathbf{R}^{2}# существует ровно одна точка #a(x) \in A# такая, что #\| x -a(x) \| = sup_{a \in A} \| x -a \|.# Доказать, что множество #A# одноточечно. б) Докажите то же утверждение для произвольного ограниченного множества #A \subset \mathbf{R}^{2}.#
Решение:
Ð ассмотрим функцию #f(x) = sup_{a \in A} \| x -a \|.# Поскольку это непрерывная функция на #\mathbf{R}^{n}# и #lim_{\| x \| \rightarrow + \infty} f(x) = + \infty,# то минимум #f# достигается в некоторой точке #x_{0} \in \mathbf{R}^{n}.# Покажем, что #A = \{ x_{0} \}.# Допустим противное. Тогда #f(x_{0}) > 0# и шар #B_{f(x_{0})}(x_{0})# является шаром наименьшего радиуса (равного #f(x_{0})# ), который содержит #A# среди всех шаров, содержащих #A.# При этом в силу условия задачи #\partial B_{f(x_{0})}(x_{0}) \bigcap A = \{ a_{0} \}# Определим полусферу. #S = \partial B_{f(x_{0})}(x_{0}) \bigcap \{ x \in \mathbf{R}^{n} | (a_{0} -x_{0}, x - x_{0}) \leq 0 \}# Так как #S \bigcap A = \emptyset,# то по лемме Гейне-Бореля существует ненулевой сдвиг #S_{t} = S + t(a_{0} - x_{0}), t>0,# вдоль вектора #a_{0} - x_{0}# сохраняющий условие #S_{\tau} \bigcap A = \emptyset# для всех #\tau \in [0, t].# Отсюда следует, что #A \subset B_{f(x_{0})}(x_{0}) \bigcap B_{f(x_{0})}(x_{0} + t(a_{0} - x_{0})).# Но по теореме Пифагора получаем, что тогда #A \subset x_{0} + \frac{t}{2}(a_{0} - x_{0}) + \sqrt{f^{2}(x_{0}) - \frac{t^{2} \| a_{0} - x_{0} \|^{2} }{4}} B_{1}(0),# что противоречит минимальности радиуса #f(x_{0}).# б) Докажем, что если множество #A# удовлетворяет нашему свойству, то и его замыкание #B = \overline{A}# также ему удовлетворяет. Заметим, что #max_{b \in B} \| x - b \| =# #max_{a \in A} \| x - a \| =# для любого #x# (максимумы по условию существуют!). Предположим противное. Тогда для некоторой точки х существуют две точки #b_{1}, b_{2} \in B# такие, что #\| x - b_{i} \| = max_{b \in B} \| x - b \| =:s.# Тогда одна из них - скажем, ©#b_{1}#- лежит в #B \backslash A.# Ð ассмотрим точку #x_{1} = x + (x - b_{1}).# Тогда #\| x_{1} - b_{1} \| = \| 2 (x - b_{1}) \| = 2s,# а для любой другой точки #b \in B# имеем #\| x_{1} - b_{1} \| \leq# #\| x_{1} - x \| + \| x - b \| = 2s.# При этом равенство может достигаться тогда и только тогда, когда #x_{1},b# и #x# лежат на одной прямой ( #x# между #b# и #x_{1}#), и #\| x - b \| = s;# это выполняется только при #b = b_{1}.# Таким образом, #\| x_{1} - b_{1} \| > \| x_{1} - b \| # для любой точки #b \in B \backslash \{ b_{1} \} \supset A;# в частности, #\| x_{1} - b_{1} \| > max_{x \in A} \| x_{1} - a \| .# Это невозможно, так как #max_{b \in B} \| x_{1} - b \| = max_{a \in A} \| x_{1} - a \| # Итак, множество #B# удовлетворяет нашему свойству и по пункту а) одноточечно. Значит, и #A# одноточечно.
