Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 762
2014-02-26 
Пусть #f: [0,1] \rightarrow \mathbf{R}# - непрерывная функция. Доказать, что найдется подмножество #X \subset [0,1]# мощности континуум, на котором функция #f# монотонна.
Решение:
Пусть найдутся такие точки #a,b \in [0,1],# что #a < b# и #f(a) <# #f(b).# Если это не так, то для любых точек #a,b \in [0,1], a < b,# выполнено #f(a) \geq f(b)# и требуемое доказано. Для каждого #c \in [f(a), f(b)]# определим #x_{c} = sup \{ x \in [a,b] | f(x) = c \}.# В силу непрерывности #f# получаем, что #f(x_{c}) = c# и из #c_{1} < c_{2}# следует #x_{c_{1}} < x_{c_{2}}# и #f(x_{c_{1}}) = c_{1} < c_{2} = f(x_{c_{2}}).# По построению #\{ x_{c} \in [a,b] | f(x) = c \}.# - искомый континуум.
Пусть #f: [0,1] \rightarrow \mathbf{R}# - непрерывная функция. Доказать, что найдется подмножество #X \subset [0,1]# мощности континуум, на котором функция #f# монотонна.
Решение:
Пусть найдутся такие точки #a,b \in [0,1],# что #a < b# и #f(a) <# #f(b).# Если это не так, то для любых точек #a,b \in [0,1], a < b,# выполнено #f(a) \geq f(b)# и требуемое доказано. Для каждого #c \in [f(a), f(b)]# определим #x_{c} = sup \{ x \in [a,b] | f(x) = c \}.# В силу непрерывности #f# получаем, что #f(x_{c}) = c# и из #c_{1} < c_{2}# следует #x_{c_{1}} < x_{c_{2}}# и #f(x_{c_{1}}) = c_{1} < c_{2} = f(x_{c_{2}}).# По построению #\{ x_{c} \in [a,b] | f(x) = c \}.# - искомый континуум.
