Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 761
2014-02-26 
Даны непрерывные функции #f, g : [0,1] \rightarrow [0,1],# причем известно, что #f# строго возрастает. Докажите, что #\int_{0}^{1} f(g(x))dx \leq \int_{0}^{1} (f(x) + g(x))dx.#
Решение:
Пусть #c = max_{x \in [0,1]} (f(x) - x).# Тогда #\int_{0} (f(g(x)) - g(x)) dx \leq \int_{0}^{1} c dx = c.# Следовательно, достаточно доказать, что #c \leq \int_{0}^{1} f(x) dx.# Если #c \leq 0,# то это неравенство очевидно. Пусть #c > 0,# и #f(x_{0}) - x_{0} = c.# Тогда #0 \leq x_{0} = f(x_{0}) - c \leq 1 - c.# Тогда #\int_{0}^{1} f(x)dx \geq \int_{x_{0}}^{1} f(x)dx \geq \int_{x_{0}}^{1} f(x_{0})dx = (1 - x_{0}) (x_{0} + c).# Осталось заметить, что #(1 - x_{0}) (x_{0} + c) = c + x_{0}(1 - c -x_{0}) \geq c# при #0 leq x_{0} leq 1 -c.#
Даны непрерывные функции #f, g : [0,1] \rightarrow [0,1],# причем известно, что #f# строго возрастает. Докажите, что #\int_{0}^{1} f(g(x))dx \leq \int_{0}^{1} (f(x) + g(x))dx.#
Решение:
Пусть #c = max_{x \in [0,1]} (f(x) - x).# Тогда #\int_{0} (f(g(x)) - g(x)) dx \leq \int_{0}^{1} c dx = c.# Следовательно, достаточно доказать, что #c \leq \int_{0}^{1} f(x) dx.# Если #c \leq 0,# то это неравенство очевидно. Пусть #c > 0,# и #f(x_{0}) - x_{0} = c.# Тогда #0 \leq x_{0} = f(x_{0}) - c \leq 1 - c.# Тогда #\int_{0}^{1} f(x)dx \geq \int_{x_{0}}^{1} f(x)dx \geq \int_{x_{0}}^{1} f(x_{0})dx = (1 - x_{0}) (x_{0} + c).# Осталось заметить, что #(1 - x_{0}) (x_{0} + c) = c + x_{0}(1 - c -x_{0}) \geq c# при #0 leq x_{0} leq 1 -c.#
