Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 760
2014-02-26 
Пусть #B_{1}(a)# - замкнутый единичный евклидов шар в #\mathbf{R}^{n}# с центром в точке #a \in \mathbf{R}^{n}.# Для множества #A \subset \mathbf{R}^{n}# определим множество #f(A) = \bigcap_{a \in A} B_{1}(a).# Доказать, что непустое множество #A# есть пересечение замкнутых единичных шаров тогда и только тогда, когда #A = f(f(A)).#
Решение:
Если #A = f(f(A)),# то очевидно #A# есть пересечение замкнутых единичных шаров. Пусть #A# есть такое множество, что #f(A) \neq \emptyset.# Покажем, что #A \subset f(f(A)).# Пусть #a \in A.# Тогда #f(A) = \bigcap_{z \in A} B_{1}(z) \subset B_{1}(a).# Отсюда #f(f(A)) = \bigcap_{z \in f(A)} B_{1}(z) \supset \bigcap_{z \in B_{1}(a)} B_{1}(z) = \{ a \}.# Итак, #A \subset f(f(A)).# Пусть множество #A# есть непустое пересечение единичных замкнутых шаров, т.е. для некоторого множества #B# выполнено #A = f(B).# По доказанному #f(A) = f(f(B)) \supset B,# откуда #f(f(A)) \subset f(B) = A.#
Пусть #B_{1}(a)# - замкнутый единичный евклидов шар в #\mathbf{R}^{n}# с центром в точке #a \in \mathbf{R}^{n}.# Для множества #A \subset \mathbf{R}^{n}# определим множество #f(A) = \bigcap_{a \in A} B_{1}(a).# Доказать, что непустое множество #A# есть пересечение замкнутых единичных шаров тогда и только тогда, когда #A = f(f(A)).#
Решение:
Если #A = f(f(A)),# то очевидно #A# есть пересечение замкнутых единичных шаров. Пусть #A# есть такое множество, что #f(A) \neq \emptyset.# Покажем, что #A \subset f(f(A)).# Пусть #a \in A.# Тогда #f(A) = \bigcap_{z \in A} B_{1}(z) \subset B_{1}(a).# Отсюда #f(f(A)) = \bigcap_{z \in f(A)} B_{1}(z) \supset \bigcap_{z \in B_{1}(a)} B_{1}(z) = \{ a \}.# Итак, #A \subset f(f(A)).# Пусть множество #A# есть непустое пересечение единичных замкнутых шаров, т.е. для некоторого множества #B# выполнено #A = f(B).# По доказанному #f(A) = f(f(B)) \supset B,# откуда #f(f(A)) \subset f(B) = A.#
