ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-02-26   
Пусть #e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}# и #e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, \cdots, e_{n}^{\prime}# - два базиса в #\mathbf{R}^{n}# Доказать, что существует такая перестановка #e_{i_{1}}^{\prime}, e_{i_{2}}^{\prime}, \cdots, e_{i_{n}}^{\prime}# векторов #e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, \cdots, e_{n}^{\prime},# что для любого #k = 1, 2, \cdots, n# векторы #e_{i_{1}}^{\prime}, e_{i_{2}}^{\prime}, \cdots, e_{i_{k}}^{\prime}, e_{k+1}, e_{k+2}, \cdots, e_{n}# образуют базис


Решение:


Пусть среди #e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, \cdots, e_{n}^{\prime}# выбрано #k < n# таких различных векторов #e_{i_{1}}^{\prime}, e_{i_{2}}^{\prime}, \cdots, e_{i_{k}}^{\prime}, # что #e_{i_{1}}^{\prime}, e_{i_{2}}^{\prime}, \cdots, e_{i_{k}}^{\prime}, e_{k+1}, e_{k+2}, \cdots, e_{n}# - базис. Рассмотрим #(n-1)#-мерное подпространство #V_{k+1} = {\langle} e_{i_{1}}^{\prime}, e_{i_{2}}^{\prime}, \cdots, e_{i_{k}}^{\prime}, e_{k+2}, \cdots, e_{n} {\rangle}.# Среди векторов #e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, \cdots, e_{n}^{\prime}# найдется вектор #v,# не лежащий в #V_{k+1}# Заметим, что v отличен от #e_{i_{1}}^{\prime}, e_{i_{2}}^{\prime}, \cdots, e_{i_{k}}^{\prime},# поскольку #e_{i_{1}}^{\prime}, e_{i_{2}}^{\prime}, \cdots, e_{i_{k}}^{\prime} \in V_{k+1}.# Положим #e_{i_{k+1}}^{\prime} = v,# тогда #e_{i_{1}}^{\prime}, e_{i_{2}}^{\prime}, \cdots, e_{i_{k}}^{\prime} , e_{k+2}, e_{k+3}, \cdots, e_{n}# - базис. Рассуждая как показано выше для #k = 0, 1, \cdots, n-1,# мы получим требуемую перестановку #e_{i_{1}}^{\prime}, e_{i_{2}}^{\prime}, \cdots, e_{i_{n}}^{\prime}#