Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 758
2014-02-26 
Пусть для натурального #n# число #x_{n}# - корень уравнения #x = tg \: x# из промежутка #(\pi n, \pi(n+1)).# Доказать, что #x_{n} = \pi n + \frac{\pi}{2} - \frac{1}{ \pi n} + O(\frac{1}{n^{2}}).#
Решение:
Пусть #y_{n} = x_{n} - \pi n - \frac{\pi}{2}.# Легко видеть, что #y_{n} < 0# и #y_{n} \rightarrow 0.# #y_{n} + \pi n + \frac{\pi}{2} = tg \: \left ( y_{n} + \pi n + \frac{\pi}{2} \right ) = - ctg \: y_{n} = - \frac{1}{y_{n}} + O(y_{n}),# # \pi n + \frac{\pi}{2} = - \frac{1}{y_{n}} + O(y_{n}).# Из асимптотического равенства получаем, что #y_{n} = - \frac{1}{ \pi n + \frac{\pi}{2} } + \frac{1}{ \pi n + \frac{\pi}{2} } O(y_{n}^{2}),# откуда #y_{n} = - \frac{1}{ \pi n} + O(1/n^{2}).#
Пусть для натурального #n# число #x_{n}# - корень уравнения #x = tg \: x# из промежутка #(\pi n, \pi(n+1)).# Доказать, что #x_{n} = \pi n + \frac{\pi}{2} - \frac{1}{ \pi n} + O(\frac{1}{n^{2}}).#
Решение:
Пусть #y_{n} = x_{n} - \pi n - \frac{\pi}{2}.# Легко видеть, что #y_{n} < 0# и #y_{n} \rightarrow 0.# #y_{n} + \pi n + \frac{\pi}{2} = tg \: \left ( y_{n} + \pi n + \frac{\pi}{2} \right ) = - ctg \: y_{n} = - \frac{1}{y_{n}} + O(y_{n}),# # \pi n + \frac{\pi}{2} = - \frac{1}{y_{n}} + O(y_{n}).# Из асимптотического равенства получаем, что #y_{n} = - \frac{1}{ \pi n + \frac{\pi}{2} } + \frac{1}{ \pi n + \frac{\pi}{2} } O(y_{n}^{2}),# откуда #y_{n} = - \frac{1}{ \pi n} + O(1/n^{2}).#
