Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 757
2014-02-26 
Пусть #A# и #B# - выпуклые компакты из #\mathbf{R}^{2}# с непустой внутренностью, граница которых не содержит отрезков. Пусть #C = A + B = {a + b | a \in A, b \in B}.# Доказать, что существуют непрерывные функции #a : [0, 1] \rightarrow A# и #b : [0, 1] \rightarrow B# такие, что #{a(t) + b(t) | t \in [0, 1]} = C.#
Решение:
Поскольку внутренность всех трех множеств непуста, то считаем, что #0 \in int A, 0 \in int B, 0 \in int C# (если это не так, сдвинем множества на соответствующие векторы). Для единичного вектора #p in \mathbf{R}^{2}# определим точку #x_{p}^{A}# - та (единственная!) точка множества #A,# в которой достигается максимум скалярного произведения #(p, x)# по всем #x \in A.# Ðналогичный смысл будут нести #x_{p}^{B}# для множества #B# и #x_{p}^{C}# для множества #C.# Пусть #S# - единичная окружность с центром в нуле. Покажем, что отображение #S \ni p ightarrow x_{p}^{A}# непрерывно. Допустим противное: #\exists \varepsilon > 0# и #p_{k} \rightarrow p_{0}# - единичные векторы, причем #x_{p_{k}}^{A} \not in B_{\varepsilon}(x_{p_{0}}^{A}).# Тогда в силу компактности можем считать, что #x_{p_{0}}^{A} \rightarrow x_{0} \in \partial A \backslash B_{\varepsilon} (x_{p_{0}}^{A}).# Точки #x_{0}# и #x_{p_{0}}^{A}# дают максимум скалярного произведения #(p_{0}, x)# по #x \in A,# поэтому отрезок #[x_{0}, x_{p_{0}}^{A}] \subset \partial A,# что противоречит тому, что граница #A# не содержит отрезков. Пусть #(\lambda(t), \phi(t))# - компоненты кривой Пеано, отображающей (непрерывно) #[0,1]# в прямоугольник #[0,1]_{\lambda} \times [0, 2 \pi]_{\phi}.# Пусть #p(t) = (\cos \phi(t), \sin \phi(t)).# Поскольку #\lambda x_{p}^{A} + \lambda x_{p}^{B} = \lambda x_{p}^{C}# для всех #p \in S, \lambda \in [0, 1]# и #C = \{ \lambda x_{p}^{C} | \lambda \in [0, 1], p \in S \},# то #a(t) = \lambda (t) x_{p_{t}}^{A}, b(t) = \lambda (t) x_{p_{t}}^{B},# 2. Доказательство можно несколько упростить, если использовать тот факт, что все выпуклые компакты одной размерности гомеоморфны. Пусть #K = [0, 1]^{2}, \phi : K \rightarrow A# - гомеоморфизм, переводящий #K# в #A, \psi : K \rightarrow B# - гомеоморфизм, переводящий #K# в #B.# Пусть #(x( \tau), y( \tau))# - компоненты стандартной непрерывной кривой Пеано. Тогда очевидно #\{ \phi(x( \tau), y( \tau)) + \psi (x(\mu), y(\mu)) | (\tau, \mu) \in K \} = C.# Выберем теперь #\tau = x(t), \mu = y(t),# тогда #a(t) = \phi (x(x(t)), y(y(t))), b(t) = \psi (x(x(t)), y(y(t)))#
Пусть #A# и #B# - выпуклые компакты из #\mathbf{R}^{2}# с непустой внутренностью, граница которых не содержит отрезков. Пусть #C = A + B = {a + b | a \in A, b \in B}.# Доказать, что существуют непрерывные функции #a : [0, 1] \rightarrow A# и #b : [0, 1] \rightarrow B# такие, что #{a(t) + b(t) | t \in [0, 1]} = C.#
Решение:
Поскольку внутренность всех трех множеств непуста, то считаем, что #0 \in int A, 0 \in int B, 0 \in int C# (если это не так, сдвинем множества на соответствующие векторы). Для единичного вектора #p in \mathbf{R}^{2}# определим точку #x_{p}^{A}# - та (единственная!) точка множества #A,# в которой достигается максимум скалярного произведения #(p, x)# по всем #x \in A.# Ðналогичный смысл будут нести #x_{p}^{B}# для множества #B# и #x_{p}^{C}# для множества #C.# Пусть #S# - единичная окружность с центром в нуле. Покажем, что отображение #S \ni p ightarrow x_{p}^{A}# непрерывно. Допустим противное: #\exists \varepsilon > 0# и #p_{k} \rightarrow p_{0}# - единичные векторы, причем #x_{p_{k}}^{A} \not in B_{\varepsilon}(x_{p_{0}}^{A}).# Тогда в силу компактности можем считать, что #x_{p_{0}}^{A} \rightarrow x_{0} \in \partial A \backslash B_{\varepsilon} (x_{p_{0}}^{A}).# Точки #x_{0}# и #x_{p_{0}}^{A}# дают максимум скалярного произведения #(p_{0}, x)# по #x \in A,# поэтому отрезок #[x_{0}, x_{p_{0}}^{A}] \subset \partial A,# что противоречит тому, что граница #A# не содержит отрезков. Пусть #(\lambda(t), \phi(t))# - компоненты кривой Пеано, отображающей (непрерывно) #[0,1]# в прямоугольник #[0,1]_{\lambda} \times [0, 2 \pi]_{\phi}.# Пусть #p(t) = (\cos \phi(t), \sin \phi(t)).# Поскольку #\lambda x_{p}^{A} + \lambda x_{p}^{B} = \lambda x_{p}^{C}# для всех #p \in S, \lambda \in [0, 1]# и #C = \{ \lambda x_{p}^{C} | \lambda \in [0, 1], p \in S \},# то #a(t) = \lambda (t) x_{p_{t}}^{A}, b(t) = \lambda (t) x_{p_{t}}^{B},# 2. Доказательство можно несколько упростить, если использовать тот факт, что все выпуклые компакты одной размерности гомеоморфны. Пусть #K = [0, 1]^{2}, \phi : K \rightarrow A# - гомеоморфизм, переводящий #K# в #A, \psi : K \rightarrow B# - гомеоморфизм, переводящий #K# в #B.# Пусть #(x( \tau), y( \tau))# - компоненты стандартной непрерывной кривой Пеано. Тогда очевидно #\{ \phi(x( \tau), y( \tau)) + \psi (x(\mu), y(\mu)) | (\tau, \mu) \in K \} = C.# Выберем теперь #\tau = x(t), \mu = y(t),# тогда #a(t) = \phi (x(x(t)), y(y(t))), b(t) = \psi (x(x(t)), y(y(t)))#
