Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 753
2014-02-26 
Пусть #B# - центрально симметричное выпуклое компактное тело в #\mathbf{R}^{2}.# Доказать, что найдется такой параллелограмм, содержащий #B,# что середины сторон параллелограмма являются точками множества #B.#
Решение:
Лемма. Пусть векторы #a, b# не параллельны. Тогда #\exists \varepsilon > 0: \forall x \in B_{\varepsilon}(a), \forall y \in B_{\varepsilon}(b)# векторы #x# и #y# не параллельны. Доказательство. Допустим противное: #\forall k \exists x_{k} \in B_{1/k}(a)# и #\exists y_{k} \in B_{1/k}(b) : x_{k}# и #y_{k}# параллельны. Так как #a, b \neq 0,# то #x_{k}, y_{k} \neq 0# (для достаточно больших номеров #k#) и #\lambda_{k}x_{k} + y_{k} \neq# #0# для #\lambda_{k} = \pm \| y_{k} \| / \| x_{k} \|# (для одного из знаков). В силу сходимости #x_{k} \rightarrow a, y_{k} \rightarrow b# получаем в пределе #\lambda a + b =0,# где #\lambda = lim \lambda_{k} = \pm \| b \| / \| a \|.# Противоречие. Пусть #P_{k}# - последовательность параллелограммов с вершинами #\{ x_{k}^{i} \}_{i=1}^{4}# таких, что #B \subset P_{k}# для всех #k# и #lim S(P_{k}) = S = inf \{ S(P) | P# - параллелограмм, #B \subset P \}.# (*) Поскольку #\{ P_{k} \}# ограничена, то можем считать #lim x_{k}^{i} = x^{i},# #1 \leq i \leq 4.# В силу леммы точки #\{ x^{i} \}_{i=1}^{4}# являются вершинами параллелограмма #P,# на котором в силу непрерывности площади достигается значение #S# в (*). Покажем, что середины сторон #P# являются точками из #B# Допустим противное. Пусть #O# - центр симметрии #B# (и #P#), #y = \frac{1}{2} (x^{1} + x^{2}).# Пусть #[x^{1}, x^{2}] \bigcap B = [a, b]# (в силу выпуклости #B# и #y \in [a,b].# Тогда #\exists \varepsilon > 0: [a,b] \bigcap B_{\varepsilon}(y)= \varnothing.# Пусть #[a,b] \subset [x^{1},y],# #y_{\varepsilon} = y + \frac{\varepsilon}{2} \frac{x^{1} - x^{2}}{\| x^{1} - x^{2} \|}.# Из-за выпуклости #B# выполнено #[y_{\varepsilon}, x^{2}] \bigcap# #B = \varnothing# поэтому (в силу компактности множеств в последнем равенстве) #\exists \delta > 0 : \delta# -окрестность #[y_{\varepsilon}, x^{2}]#е не пересекает #B.# Пусть #z = x^{2} + \frac{\delta}{2} \frac{x^{3} - x^{2}}{\| x^{3} - x^{2} \|}.# По построению #[y_{\varepsilon}, z] \bigcap B = \varnothing.# Пусть #\omega# - пересечение прямой #aff \{ y_{\varepsilon}, z \}# с прямой #aff \{ x^{1},x^{4} \}.# Пусть #\omega^{\prime}# и #z^{\prime}# - точки, симметричные точкам #\omega# и #z# относительно точки #O.# Так как площадь треугольника #\omega x^{1} y_{\varepsilon}# строго меньше площади треугольника #zx^{2} y_{\varepsilon},# то параллелограмм #\omega z \omega^{\prime} z^{\prime}# содержит #B# (в силу центральной симметрии) и имеет площадь меньшую, чем #P.# Замечание. Из этой задачи следует, что если за единичный шар на плоскости взять множество #B,# то его периметр будет не более 8.
Пусть #B# - центрально симметричное выпуклое компактное тело в #\mathbf{R}^{2}.# Доказать, что найдется такой параллелограмм, содержащий #B,# что середины сторон параллелограмма являются точками множества #B.#
Решение:
Лемма. Пусть векторы #a, b# не параллельны. Тогда #\exists \varepsilon > 0: \forall x \in B_{\varepsilon}(a), \forall y \in B_{\varepsilon}(b)# векторы #x# и #y# не параллельны. Доказательство. Допустим противное: #\forall k \exists x_{k} \in B_{1/k}(a)# и #\exists y_{k} \in B_{1/k}(b) : x_{k}# и #y_{k}# параллельны. Так как #a, b \neq 0,# то #x_{k}, y_{k} \neq 0# (для достаточно больших номеров #k#) и #\lambda_{k}x_{k} + y_{k} \neq# #0# для #\lambda_{k} = \pm \| y_{k} \| / \| x_{k} \|# (для одного из знаков). В силу сходимости #x_{k} \rightarrow a, y_{k} \rightarrow b# получаем в пределе #\lambda a + b =0,# где #\lambda = lim \lambda_{k} = \pm \| b \| / \| a \|.# Противоречие. Пусть #P_{k}# - последовательность параллелограммов с вершинами #\{ x_{k}^{i} \}_{i=1}^{4}# таких, что #B \subset P_{k}# для всех #k# и #lim S(P_{k}) = S = inf \{ S(P) | P# - параллелограмм, #B \subset P \}.# (*) Поскольку #\{ P_{k} \}# ограничена, то можем считать #lim x_{k}^{i} = x^{i},# #1 \leq i \leq 4.# В силу леммы точки #\{ x^{i} \}_{i=1}^{4}# являются вершинами параллелограмма #P,# на котором в силу непрерывности площади достигается значение #S# в (*). Покажем, что середины сторон #P# являются точками из #B# Допустим противное. Пусть #O# - центр симметрии #B# (и #P#), #y = \frac{1}{2} (x^{1} + x^{2}).# Пусть #[x^{1}, x^{2}] \bigcap B = [a, b]# (в силу выпуклости #B# и #y \in [a,b].# Тогда #\exists \varepsilon > 0: [a,b] \bigcap B_{\varepsilon}(y)= \varnothing.# Пусть #[a,b] \subset [x^{1},y],# #y_{\varepsilon} = y + \frac{\varepsilon}{2} \frac{x^{1} - x^{2}}{\| x^{1} - x^{2} \|}.# Из-за выпуклости #B# выполнено #[y_{\varepsilon}, x^{2}] \bigcap# #B = \varnothing# поэтому (в силу компактности множеств в последнем равенстве) #\exists \delta > 0 : \delta# -окрестность #[y_{\varepsilon}, x^{2}]#е не пересекает #B.# Пусть #z = x^{2} + \frac{\delta}{2} \frac{x^{3} - x^{2}}{\| x^{3} - x^{2} \|}.# По построению #[y_{\varepsilon}, z] \bigcap B = \varnothing.# Пусть #\omega# - пересечение прямой #aff \{ y_{\varepsilon}, z \}# с прямой #aff \{ x^{1},x^{4} \}.# Пусть #\omega^{\prime}# и #z^{\prime}# - точки, симметричные точкам #\omega# и #z# относительно точки #O.# Так как площадь треугольника #\omega x^{1} y_{\varepsilon}# строго меньше площади треугольника #zx^{2} y_{\varepsilon},# то параллелограмм #\omega z \omega^{\prime} z^{\prime}# содержит #B# (в силу центральной симметрии) и имеет площадь меньшую, чем #P.# Замечание. Из этой задачи следует, что если за единичный шар на плоскости взять множество #B,# то его периметр будет не более 8.
