Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 752
2014-02-26 
Пусть последовательность #{a_{n}}# такова, что последовательность #\left { \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}a_{k} \right }# сходится. Доказать, что для любого #\varepsilon > 0# ряд #\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{1+ \varepsilon}}# сходится.
Решение:
Зафиксируем #\varepsilon > 0# Пусть #\frac{a_{1} + \cdots + a_{n}}{n} = a + \varepsilon_{n},# #a \in \mathbf{R}, \varepsilon_{n} \rightarrow 0.# Напомним признак Ðбеля: пусть #\alpha_{n}# и #\beta_{n}# последовательности, #B_{n} = \beta_{1} + \cdots + \beta_{n}# и пусть последовательность #\{ \alpha_{n}B_{n} \}# сходится. Тогда ряды #\sum \alpha_{n}\beta_{n}# и #\sum(\alpha_{n} - \alpha_{n+1})B_{n}# сходятся или расходятся одновременно. Применим признак Ðбеля к #\alpha_{n} = \frac{1}{n^{1+ \varepsilon}}, \beta_{n} = a_{n}.# Тогда #B_{n} = na + n \varepsilon_{n}, \alpha_{n}B_{n} = \frac{a + \varepsilon_{n}}{n^{\varepsilon}} \rightarrow 0.# Поэтому ряд из условия задачи имеет тот же тип сходимости, что и ряд #\sum \left ( \frac{1}{n^{1 + \varepsilon}} - \frac{1}{(n+1)^{1 + \varepsilon}} \right ) (a + \varepsilon_{n})n,# который сходится по признаку сравнения (#n#-й член асимптотически равен #\frac{1 + \varepsilon}{n^{1+ \varepsilon}} (a + \varepsilon_{n})).#
Пусть последовательность #{a_{n}}# такова, что последовательность #\left { \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}a_{k} \right }# сходится. Доказать, что для любого #\varepsilon > 0# ряд #\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{1+ \varepsilon}}# сходится.
Решение:
Зафиксируем #\varepsilon > 0# Пусть #\frac{a_{1} + \cdots + a_{n}}{n} = a + \varepsilon_{n},# #a \in \mathbf{R}, \varepsilon_{n} \rightarrow 0.# Напомним признак Ðбеля: пусть #\alpha_{n}# и #\beta_{n}# последовательности, #B_{n} = \beta_{1} + \cdots + \beta_{n}# и пусть последовательность #\{ \alpha_{n}B_{n} \}# сходится. Тогда ряды #\sum \alpha_{n}\beta_{n}# и #\sum(\alpha_{n} - \alpha_{n+1})B_{n}# сходятся или расходятся одновременно. Применим признак Ðбеля к #\alpha_{n} = \frac{1}{n^{1+ \varepsilon}}, \beta_{n} = a_{n}.# Тогда #B_{n} = na + n \varepsilon_{n}, \alpha_{n}B_{n} = \frac{a + \varepsilon_{n}}{n^{\varepsilon}} \rightarrow 0.# Поэтому ряд из условия задачи имеет тот же тип сходимости, что и ряд #\sum \left ( \frac{1}{n^{1 + \varepsilon}} - \frac{1}{(n+1)^{1 + \varepsilon}} \right ) (a + \varepsilon_{n})n,# который сходится по признаку сравнения (#n#-й член асимптотически равен #\frac{1 + \varepsilon}{n^{1+ \varepsilon}} (a + \varepsilon_{n})).#
