Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 749
2014-02-26 
Пусть #B, C# - вещественные #n \times n# матрицы, #A = # #= B + iC# - комплексная #n \times n# матрица #i = \sqrt{-1}.# Доказать, что #det \begin{pmatrix} B & -C \\ C & B \end{pmatrix} = |det A|^{2}.#
Решение:
Пусть #\tilde{A} = \begin{pmatrix} B & -C \\ C & B \end{pmatrix}. det \tilde{A}# и #|det A|^{2}# есть многочлены от #N = 2n^{2}# переменных #b_{jk}# и #c_{jk}.# Пусть #V# - окрестность точки #\mathbf{R}^{N},# такой, что #b_{jk} = 0 \forall j,k, c_{jk} = 0# при #j \neq k, c_{kk} = k, 1 \leq k \leq n.# Соответствующая матрица #A = diag \{ i, 2i, \cdots, ni \}.# Если #V# - достаточно малая, то каждая матрица #A,# соответствующая точке из #V,# имеет #n# различных собственных значений. Пусть #A# - такая матрица, #\lambda# - одно из ее собственных значений, а #z#- соответствующий собственный вектор. #\tilde{A} = \begin{pmatrix} z \\ -iz \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B & -C \\ C & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z \\ -iz \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Az \\ -iAz \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} z \\ -iz \end{pmatrix},# следовательно, #\lambda# - собственное значение #\tilde{A},# а так как #\tilde{A}# вещественна, то #\overline{\lambda}# - тоже собственное значение #\tilde{A}.# Пусть #\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}# - различные собственные значения #A.# Тогда #\lambda_{1}, \overline{\lambda_{1}}, \cdots, \lambda_{n}, \overline{\lambda_{n}}# - различные собственные значения #\tilde{A}# и в окрестности #V# выполнено #| det A|^{2} = \prod_{k=1}^{n} \lambda_{k} \cdot \overline{\lambda_{k}} = det \tilde{A}.# Поскольку многочлены #|det A|^{2}# и #det \tilde{A}# совпадают на открытом множестве #V,# то они тождественно равны.
Пусть #B, C# - вещественные #n \times n# матрицы, #A = # #= B + iC# - комплексная #n \times n# матрица #i = \sqrt{-1}.# Доказать, что #det \begin{pmatrix} B & -C \\ C & B \end{pmatrix} = |det A|^{2}.#
Решение:
Пусть #\tilde{A} = \begin{pmatrix} B & -C \\ C & B \end{pmatrix}. det \tilde{A}# и #|det A|^{2}# есть многочлены от #N = 2n^{2}# переменных #b_{jk}# и #c_{jk}.# Пусть #V# - окрестность точки #\mathbf{R}^{N},# такой, что #b_{jk} = 0 \forall j,k, c_{jk} = 0# при #j \neq k, c_{kk} = k, 1 \leq k \leq n.# Соответствующая матрица #A = diag \{ i, 2i, \cdots, ni \}.# Если #V# - достаточно малая, то каждая матрица #A,# соответствующая точке из #V,# имеет #n# различных собственных значений. Пусть #A# - такая матрица, #\lambda# - одно из ее собственных значений, а #z#- соответствующий собственный вектор. #\tilde{A} = \begin{pmatrix} z \\ -iz \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B & -C \\ C & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z \\ -iz \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Az \\ -iAz \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} z \\ -iz \end{pmatrix},# следовательно, #\lambda# - собственное значение #\tilde{A},# а так как #\tilde{A}# вещественна, то #\overline{\lambda}# - тоже собственное значение #\tilde{A}.# Пусть #\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}# - различные собственные значения #A.# Тогда #\lambda_{1}, \overline{\lambda_{1}}, \cdots, \lambda_{n}, \overline{\lambda_{n}}# - различные собственные значения #\tilde{A}# и в окрестности #V# выполнено #| det A|^{2} = \prod_{k=1}^{n} \lambda_{k} \cdot \overline{\lambda_{k}} = det \tilde{A}.# Поскольку многочлены #|det A|^{2}# и #det \tilde{A}# совпадают на открытом множестве #V,# то они тождественно равны.
