ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2015-02-14   
Выпуклый компакт #A# в евклидовой плоскости #\mathbf{R}^{2}# имеет площадь #\pi.#
#\int_{\mathbf{R}^{2}} exp ( - \varrho (x, A)) dx = 5 \pi,#
где функция #\varrho (x, A) = min_{a \in A} \| x - a \| \forall x \in \mathbf{R}^{2}.# Найти длину границы #\delta A# компакта #A.#



Решение:


Разобьем интеграл на два:
#\int_{\mathbf{R}^{2}} exp (- \varrho (x, A)) dx = \int_{A} e^{0} dx + \int_{\mathbf{R}^{2} \backslash A} exp ( - \varrho (x,A)) dx#
т.е. интеграл равен #S(A) + \int_{\mathbf{R}^{2} \backslash A} exp ( - \varrho (x, A)) dx,#
где #S(A)# площадь множества #A.# Множество точек,
расстояние от которых до #\partial A# есть #\varepsilon > 0# - это граница множества #A_{\varepsilon} = \bigcup_{a \in A} (a + B_{\varepsilon}(0)),#. Граница #\partial A_{\varepsilon}# есть гладкая кривая с длиной #l (\partial A_{\varepsilon}) = l (\partial A) +# #+ 2 \pi \varepsilon.# Отсюда
#\int_{\mathbf{R}^{2} \backslash A} exp ( - \varrho (x, A)) dx = \int_{0}^{+ \infty} e^{- \varepsilon} (l (\partial A) + 2 \pi \varepsilon) d \varepsilon = l(\partial A) + 2 \pi =#
#= 5 \pi - S(A) = 4 \pi.# Итак, #l (\partial A) = 2 \pi# (и тем самым множество #A# есть круг радиуса 1).