ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-02-26   
Пусть #A \subset \mathbf{R}^{2}# - выпуклое компактное множество и #A_{\varepsilon} - \varepsilon# -окрестность этого множества, т.е. множество #\bigcup_{a \in A} {x \in \mathbf{R}^{2} | \| x - a \| \leq \varepsilon}.# Доказать, что площадь #S(A_{\varepsilon})# множества #A_{\varepsilon}# есть #S(A_{\varepsilon}) = a + b \varepsilon + c \varepsilon^{2}# и найти коэффициенты #a, b, c.# Считать, что граница #A# есть спрямляемая кривая.


Решение:


Пусть сначала #A# - выпуклый многоугольник #a_{1}a_{2} \cdots a_{n}.# Множество #A_{\varepsilon} = igcup_{a \in A} (a + B_{varepsilon}(0))# получается, если в каждой вершине #a_{k}# взять шар #B_{varepsilon}(a_{k})# и затем взять выпуклую оболочку #\bigcup_{1 \leq k \leq n} (a_{k} + B_{\varepsilon}(0))# (т.е. наименьшее по включению выпуклое множество, содержащее объединение #n# шаров). Полученное множество #A_{\varepsilon}# отличается от #A# наличием #n# прямоугольников ширины #\varepsilon,# построенных на сторонах #A# вовне, а также #n# секторов круга радиуса #\varepsilon,# причем суммарная радианная мера всех секторов равна #2 \pi,# т.е. "в сумме" сектора дают круг. Сумма площадей всех прямоугольников, секторов и самого множества #A# есть #S(A_{varepsilon}) = S(A) + l (\partial A) \varepsilon + \pi \varepsilon^{2}# где #l (\partial A)# - длина границы #A.# Итак, для многоугольника #A# получаем #a = S(A), b = l (\partial A), c = \pi.# (*) Покажем, что формула (*) верна и в случае произвольного выпуклого компакта #A_{n} \subset A \subset \bigcup_{a \in A_{n}} (a + B_{\varepsilon_{n}}(0)),# По условию #\partial A = \{ r(s) | s \in [0, l(\partial A)] \}, s# - натуральная параметризация границы (на самом деле это верно для любого выпуклого компакта #A#). Для натурального #n# определим #r_{k} = r \left ( \frac{k}{n} l (\partial A) \right ), 1 \leq k \leq n; \Gamma_{n}# - ломаная с вершинами #r_{k},# #k = 0, 1, \cdots, n.# По построению #| \Gamma_{n} | \rightarrow l(\partial A)# при #n \rightarrow \infty.# Зафиксируем #s \in \left [ \frac{k}{n}l(\partial A), \frac{k+1}{n}l(\partial A) \right ].# Расстояние от #r(s)# до #\Gamma_{n}# есть #\varrho(r(s), \Gamma_{n}) \leq \| r(s) - r_{k} \| \leq max_{s \in [0, l(\partial A)]} \| r^{\prime}(s) \| \cdot \frac{l(\partial A)}{n} = \varepsilon_{n} \rightarrow 0# при #n \rightarrow \infty.# Таким образом, если #A_{n}# - многоугольник, ограниченный #\Gamma_{n},# то #A_{n} \subset A \subset \bigcup_{a \in A_{n}} (a + B_{varepsilon_{n}}(0)),# следовательно, #S(A_{n}) \leq S(A) \leq S(A_{n}) + | \Gamma_{n}| \varepsilon_{n} + \pi \varepsilon_{n}^{2} \leq S(A_{n}) + 2l (\partial A) \varepsilon_{n} + \pi \varepsilon_{n}^{2}# (**) при всех достаточно больших #n.# Итак, #S(A_{n}) \rightarrow S(A), |\Gamma_{n}| \rightarrow# #\rightarrow l(\partial A).# Как и при выводе (**) легко показать, что #\forall \varepsilon > 0# #(A_{n})_{\varepsilon} \subset A_{\varepsilon} \subset \bigcup_{a \in (A_{n})_{\varepsilon}} (a + B_{\varepsilon_{n}}(0))# и #S((A_{n})_{\varepsilon}) \leq S(A_{\varepsilon}) \leq S((A_{n})_{\varepsilon}) + 2l (\partial A_{\partial})\varepsilon_{n} + \pi \varepsilon_{n}^{2}# для достаточно больших #n# (здесь #\left . \varepsilon_{n} = max_{s \in [0, l(\partial A_{\varepsilon})]} \| r^{\prime}(s) \| \cdot \frac{l(\partial A_{\varepsilon})}{n} \right ).# Переходя в равенстве #S((A_{n})_{\varepsilon}) = S(A_{n}) + l (\partial A_{n})_{\varepsilon} + \pi \varepsilon^{2}# к пределу при #n \rightarrow \infty,# получаем #S(A_{\varepsilon}) = S(A) + l ( \partial A) \varepsilon + \pi \varepsilon^{2}.#