Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 746
2014-02-26 
Четыре квадратичных уравнения #f_{1}(x, y) = 0,# #f_{2}(x, y) = 0, f_{3}(x, y) = 0, f_{4}(x ,y) = 0# задают четыре окружности на плоскости, при этом ни у каких трех окружностей центры не лежат на одной прямой, окружности не пересекаются и не содержатся внутри друг друга. Докажите, что функции #f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}# линейно зависимы тогда и только тогда, когда существует окружность, пересекающая 4 исходных окружности под прямыми углами.
Решение:
Можно считать, что у всех четырех функций квадратичная часть равна #x^{2} + y^{2}.# В этом случае для точки #p# вне окружности, заданной уравнением #f(x) = 0,# значение #f(p)# равно квадрату длины касательной к окружности. Докажем, что если существует перпендикулярная окружность, то уравнения линейно зависимы. Пусть центр этой окружности находится в начале координат. Тогда длины касательных из начала координат ко всем окружностям равны радиусу перпендикулярной окружности, значит, все уравнения окружностей имеют вид #f_{i}(x) = x^{2} + y^{2} + a_{i}x + b_{i}y + C# и линейно выражаются через три функции #x^{2} + y^{2} +C, x,y.# Так как уравнений четыре, то они линейно зависимы. В обратную сторону. Из нормировки квадратичных частей следует, что в зависимости #\lambda_{1}f_{1}(x) + \lambda_{2}f_{2}(x) + \lambda_{3}f_{3}(x) + \lambda_{4}f_{4}(x) = 0# сумма #\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} + \lambda_{4} = 0.# Пусть для определенности #\lambda_{4} \neq 0.# Найдем точку #p,# в которой #f_{1}(p) = f_{2}(p) = f_{3}(p).# Такая точка найдется, так как условия на точку р сводятся к линейной системе уравнений с ненулевым определителем (так как никакие два центра не лежат на одной прямой); иначе можно сказать, что #p# - радикальный центр первых трех окружностей. Тогда #f_{4}(p) = - \frac{\lambda_{1}f_{1}(p) + \lambda_{2}f_{2}(p) + \lambda_{3}f_{3}(p)}{\lambda_{4}} = f_{1}(p) = f_{2}(p) = f_{3}(p),# кроме того, из условия следует, что #p# лежит вне всех четырех окружностей и длины касательных к четырем окружностям из #p# равны одному числу #l.# Тогда окружность с центром #p# и радиусом #l# перпендикулярна четырем данным.
Четыре квадратичных уравнения #f_{1}(x, y) = 0,# #f_{2}(x, y) = 0, f_{3}(x, y) = 0, f_{4}(x ,y) = 0# задают четыре окружности на плоскости, при этом ни у каких трех окружностей центры не лежат на одной прямой, окружности не пересекаются и не содержатся внутри друг друга. Докажите, что функции #f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}# линейно зависимы тогда и только тогда, когда существует окружность, пересекающая 4 исходных окружности под прямыми углами.
Решение:
Можно считать, что у всех четырех функций квадратичная часть равна #x^{2} + y^{2}.# В этом случае для точки #p# вне окружности, заданной уравнением #f(x) = 0,# значение #f(p)# равно квадрату длины касательной к окружности. Докажем, что если существует перпендикулярная окружность, то уравнения линейно зависимы. Пусть центр этой окружности находится в начале координат. Тогда длины касательных из начала координат ко всем окружностям равны радиусу перпендикулярной окружности, значит, все уравнения окружностей имеют вид #f_{i}(x) = x^{2} + y^{2} + a_{i}x + b_{i}y + C# и линейно выражаются через три функции #x^{2} + y^{2} +C, x,y.# Так как уравнений четыре, то они линейно зависимы. В обратную сторону. Из нормировки квадратичных частей следует, что в зависимости #\lambda_{1}f_{1}(x) + \lambda_{2}f_{2}(x) + \lambda_{3}f_{3}(x) + \lambda_{4}f_{4}(x) = 0# сумма #\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} + \lambda_{4} = 0.# Пусть для определенности #\lambda_{4} \neq 0.# Найдем точку #p,# в которой #f_{1}(p) = f_{2}(p) = f_{3}(p).# Такая точка найдется, так как условия на точку р сводятся к линейной системе уравнений с ненулевым определителем (так как никакие два центра не лежат на одной прямой); иначе можно сказать, что #p# - радикальный центр первых трех окружностей. Тогда #f_{4}(p) = - \frac{\lambda_{1}f_{1}(p) + \lambda_{2}f_{2}(p) + \lambda_{3}f_{3}(p)}{\lambda_{4}} = f_{1}(p) = f_{2}(p) = f_{3}(p),# кроме того, из условия следует, что #p# лежит вне всех четырех окружностей и длины касательных к четырем окружностям из #p# равны одному числу #l.# Тогда окружность с центром #p# и радиусом #l# перпендикулярна четырем данным.
