ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-02-26   
Доказать, что для любого решения #y(x)# уравнения #y^{\prime \prime} + \sin y = 0# существует #lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{y(x)}{x}.#


Решение:


Запишем первый интеграл #\frac{(y^{\prime})^{2}}{2} - \cos y = \frac{(y^{\prime}(0))^{2}}{2} - \cos y(0) = C.# Отсюда #(y^{\prime})^{2} = 2C + 2 \cos y.# Если #C \leq 1,# то решение #y(x)# ограничено и #lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{y(x)}{x} = 0.# Пусть #C > 1.# Тогда решение неограничено. Пусть для определенности #y^{\prime} = \sqrt{2C + 2 \cos y}.# Отсюда #\frac{dy}{\sqrt{2C + 2 \cos y}} = dx \Longrightarrow \int_{y_{0}}^{y} \frac{dy}{\sqrt{2C + 2 \cos y}} = x(y) - x(y(0)).# Из этого получаем, что при #y \rightarrow \infty# #\int_{y_{0}}^{y} \frac{dy}{\sqrt{2C + 2 \cos y}} \sim \frac{y - y(0)}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{dy}{\sqrt{2C + 2 \cos y}} = \frac{y - y(0)}{2 \pi} A,# #A = \int_{0}^{2 \pi} \frac{dy}{\sqrt{2C + 2 \cos y}}.# Отсюда #x(y) \sim \frac{y - y(0)}{2 \pi} A# и #lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{y(x)}{x} = \frac{2 \pi}{A}.#